高数下D13_2 一阶常系数.pptVIP

一阶常系数线性差分方程机动目录上页下页返回结束第二节一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解第十三章二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解机动目录上页下页返回结束一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式迭代法：若已知，依次可推出于是，令为任意常数，则齐次方程的通解为机动目录上页下页返回结束特征根法：可以看出的形式一定是某个指数函数。方程等同于令代入方程得解得即（特征根）因此，齐次方程的通解为（C为任意常数）是齐次方程的一个解。于是，（特征方程）机动目录上页下页返回结束例１（C为任意常数）求差分方程的通解。解：特征方程，特征根为于是，原方程的通解为机动目录上页下页返回结束例２（C为任意常数）求差分方程解：特征方程为满足初始条件的解。。于是，原方程的通解为原方程可以改写为由可得，因此所求特解为机动目录上页下页返回结束二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式由上节定理３，如果我们求出上述方程的一个特解，我们即可得到上述非齐次方程的通解。即其中是对应的齐次方程的通解。当方程中的f(x)取某些特殊形式的函数时，可以用常数变易法求其特解。（）机动目录上页下页返回结束１.型是n次多项式，此时方程可改写为设是它的解，于是，如果时，取为n次多项式，即如果时，取为n次多项式，即机动目录上页下页返回结束小结(1)若，特解形式：(2)若，特解形式：对方程,机动目录上页下页返回结束例3.求差分方程的通解。解：(1)相应的齐次方程为，(2)由于，故可取差分方程的特解为由于，则有通解(C为任意常数)，代入方程，可求得从而，原方程的通解为机动目录上页下页返回结束例４.求差分方程的通解。解：(1)相应的齐次方程为由于，则有通解，(2)由于，故可取差分方程的特解为(C为任意常数)，代入方程，可得比较两边的系数，可得机动目录上页下页返回结束故所求方程的通解为从而，可得所求方程的一个特解其中为任意常数。机动目录上页下页返回结束例５.求差分方程满足y0=1的特解。解：(1)相应的齐次方程为由于，则有通解(2)由于，，故可取差分方程的特解为(C为任意常数)，代入方程，可得比较两边的系数，可得机动目录上页下页返回结束故所求方程的通解为从而，可得所求方程的一个特解其中为任意常数。由，可得。于是，所求方程的特解为机动目录上页下页返回结束例６.求差分方程的通解。解：所以，原方程的通解为原方程可改写为由于其中C为任意常数。机动目录上页下页返回结束2.型这里为常数,且,表示的次多项式。作变换，代入方程，得两边同除以，得对此方程，求出一特解，从而得到（属于情形1）机动目录上页下页返回结束例7.求的通解.解:(1)先求对应的齐次方程的通解由于,于是(C为任意常数)(2)再求原方程的一个特解令,原方程化为取,代入方程,得求得机动目录上页下页返回结束于是，，从而故原方程的通解为其中C为任意常数。机动目录上页下页返回结束例8.求的通解.解:(C为任意常数)(2)求原方程的一个特解令,原方程化为(1)对应的齐次方程的通解为当时，上述方程的一个特解为当时，上述方程的一个特解为机动目录上页下页返回结束于是，所以，原方程的通解为