《数学》复习人教A（新高考）-第8节微课4　探索性问题及证明问题-教师复习验收卷.pdf

《数学》复习人教A（新高考）-第8节微课4探索性问题及证明问题-教师复习验收

卷

微课四探索性问题及证明问题

题型一探索性问题

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224

【例1】(2021·宜昌模拟)已知圆C：(x－a)＋(y－b)＝的圆心C在抛物线

2

x＝2py(p0)上,圆C过原点且与抛物线的准线相切．

(1)求该抛物线的方程．

(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,分别在点A,B处作抛物线的

切线,两条切线交于P点,则△PAB的面积是否存在最小值?若存在,求出这个最

小值及此时对应的直线l的方程;若不存在,请说明理由．

0

3pp

()

222

解(1)由已知可得圆心C(a,b),半径r＝,焦点F,准线方程为y＝－.

因为圆C与抛物线的准线相切,

3p

22

所以b＝－,且圆C过焦点F.

p

4

又圆C过原点,所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上,即b＝.

3pp

224

所以b＝－＝,求得p＝2.

2

于是抛物线的方程为x＝4y.

2

(2)由抛物线方程x＝4y知,F(0,1)．

易知直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y＝kx＋1.

y＝kx＋1

{x2＝4y)2

由消去y并整理,得x－4kx－4＝0,

22

Δ＝(－4k)－4×(－4)＝16k＋160,

设A(x,y),B(x,y),则x＋x＝4k,xx＝－4.

11221212

x2xx1

422

对y＝求导,得y′＝,即直线AP的斜率k＝,则直线AP的方程为y－y＝

AP1

x1x11

22421

(x－x),即y＝x－x.

1

x21

2422

同理可得直线BP的方程为y＝x－x.设P(x,y),

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