《数学》复习人教A（新高考）-第8节微课3　最值、范围问题-教师复习验收卷.pdf

《数学》复习人教A（新高考）-第8节微课3最值、范围问题-教师复习验收卷

微课三最值、范围问题

题型一最值问题

x2y2

a2b2

【例1】(2021·长沙一模)已知椭圆Γ：＋＝1(ab0)的左、右焦点分别

为F,F.短轴的两个顶点与F,F构成面积为2的正方形,

1212

(1)求Γ的方程;

(2)如图所示,过右焦点F的直线交椭圆Γ于A,B两点,连接AO并延长,交Γ

2

于点C,求△ABC面积的最大值．

解(1)因为椭圆C的短轴的两个顶点与F,F构成面积为2的正方形,

12

22

所以b＝c,S正＝a＝2,则a＝,b＝c＝1,

x2

22

故椭圆Γ的方程为＋y＝1.

(2)①当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y＝k(x－1),

y＝k(x－1)

x2

{2＋y2＝1)2222

联立消去y整理得(1＋2k)x－4kx＋2k－2＝0,

4k22k2－2

设A(x,y),B(x,y),则x＋x＝1＋2k2,xx＝1＋2k2,

11221212

所以|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2

4k222k2－222(1＋k2)

()－4×

＝1＋k2·1＋2k21＋2k2＝1＋2k2,

|k|

点O到直线kx－y－k＝0的距离d＝1＋k2,

2|k|

因为O是线段AC的中点,所以点C到直线AB的距离为2d＝1＋k2,

1

2

所以△ABC面积S＝·|AB|·2d

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122(1＋k2)2|k|k2(1＋k2)

21＋2k21＋k22(1＋2k2)2

＝××＝2·

11

－

＝22·44(2k2＋1)22,

11－1

222

②当直线AB的斜率不存在时,不妨取A(2),B(－2),C(－2),

1

222

故△ABC面积S＝×2×＝