(1.39)--2.3.2 不可延展解的性质.pdfVIP

2.3解的延展(二)

常微分方程

主要内容

➢不可延展解的性质

常微分方程

二、不可延展解的性质

定理2.3如果方程(2.1)的右端函数(,)在开区域⊆2

上连续，且对满足局部利普希茨条件，则对任意,∈.

00

初值问题(2.2)的解()可以向左右延展，直到,任意

接近的边界。

常微分方程

证明：先证区域D有界的情况。设区域D的边界为=−,

对于任意给定的正数ε，记L的ε邻域为.于是，集合

=−为一闭集.且⊂,有界。只要证明=()

Τ2Τ2Τ2

可以到达的边界Τ.

Τ22

ൗ4

ൗ2

常微分方程

以Τ2中的任意一点为中心，以为半径的圆均在区域D内，

4

且在闭圆域之内．从而以中的任意一点为中心，以

Τ4Τ2

=2ൗ为边长的正方形在Τ之内.

144

∗∗

记=max|,|则过Τ2中的任意一点(,)

(,)∈ൗ4

∗

的积分曲线，至少可在区间|−|≤ℎ上存在，其中ℎ=

11

min(,),过(,)的积分曲线=每向左或右延展

00

2

一次，其存在区间就伸长一个确定数ℎ,而有界，从而经过

Τ2