专题03 分式与二次根式核心知识点精讲（解析版）.docxVIP

专题03分式与二次根式核心知识点精讲

1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；

2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．

考点1：分式的有关概念及性质

1． 分式

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

2.分式的基本性质

（M为不等于零的整式）.

3． 最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

要点诠释：

分式的概念需注意的问题：

(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；

（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．

（4）分式有无意义的条件：在分式中，

①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．

③当B≠0且A=0时，分式的值为零．

考点2：分式的运算

1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

（1）加减运算QUOTE±QUOTE=QUOTE

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

；

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.

（2）乘法运算

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

（3）除法运算

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

（4）乘方运算（分式乘方）

分式的乘方，把分子分母分别乘方．

2．零指数.

3．负整数指数

4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．

5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

考点3：分式方程及其应用

1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．

3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

4．分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

考点4：二次根式的主要性质

1.；

2.；

3.；

4.积的算术平方根的性质：；

5.商的算术平方根的性质：.

6.若，则.

考点5：二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2)注意知道每一步运算的算理；

2．二次根式的加减运算

先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；

3．二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；

(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

【题型1：分式的有关概念及性质】

【典例1】（1）下列各式，，，，，，属于分式的有（????）

A．4个 B．3个C．2个 D．1个

【答案】C

【分析】本题考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可．

【详解】解：，是分式，共2个．

故选：C．

（2）若分式的值不存在，则x的值为（????）

A． B． C．2 D．1

【答案】B

【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式的值不存在即分式无意义求解即可．

【详解】解：∵分式的值不存在，

∴分式无意义，

∴，

∴．

故选B．

1．代数式，，，，，，中，属于分式的有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】本题主要考查了分式的定义，根据分式的定义