(5.3.10)--2.5 多维非线性规划.doc

脚本——多维非线性规划

(ppt1，ppt2)同学们，你们好，这节课我们来学习数学建模中的多维非线性规划问题。

(ppt3)今天我们讲的主要是无约束多维极值问题的最优化方法，首先，我们一起了解这类问题的背景分析。

(ppt4)（动画1）随着社会的发展，最优化方法受到普遍的关注，广泛的应用于物流运输网络、公司企业经营管理等领域，利用最优化方法解决问题，以追求效益和利润最大化目标，以最大程度满足自身期望。（动画2）左图是全国肯德基门店的数目分布示意图，其中主要调研了每个地区消费者购买情况和人口分布，进而合理规划门店的数量。（动画3）右图展现的是电商货物仓库中心，也涉及了优化问题模型的求解，目的是为了设计最优的解决方案。由于上述问题考虑了诸多因素，这些因素很复杂，因此蕴含了多个变量之间的非线性关系。这就需要用到我们今天所讲的知识，求解多维非线性规划问题模型的优化方法。

(ppt5)首先，我们将介绍相关的数学基础知识。

(ppt6)（动画1）凸集的定义为：设S为n维欧氏空间R^n中的一个集合。若对任意两点x^((1))，x^((2))∈S及每个实数lammda∈[0,1]，有lammda*x^((1))+(1-lammda)*x^((2))∈S则称S为凸集。

lammda*x^((1))+(1-lammda)*x^((2))称为x^((1))和x^((2))的凸组合。

（动画2）如左图是凸集示意图，形象地说就是在区域中找两点，连接这两点的线段还是属于这个区域。（动画3）右图是非凸集的示意图。在区域中找两点，连接这两点的线段，或者线段的部分不属于这个区域。

(ppt7)下面我们介绍向量函数的一阶偏导的定义。（动画1）先来看如何建立模型）先来看定义为：设f：R^n→R^m是连续函数，对于x_0∈R^n和R^n空间的标准基{e_1,e_2,…,e_n}，则函数f(x_0+t*e_j)在t=0的导数(若存在的话)称为f在点x_0关于x_j的一阶偏导数(j=1,2,…,n)。（动画2）因此，如果f(x)=[(f_1(x)，…，f_m(x))]^T，则有?f/(?x_j)(x_0)=[((?f_1)/(?x_j)(x_0)，…，(?f_m)/(?x_j)(x_0))]^T。

(ppt8)（动画1，2）雅可比矩阵的定义为：向量函数f=[f_1,f_2,…,f_n]^T：R^n→R^m，在x_0的导数矩阵记为L∈R^(m×n)，则称该矩阵为向量函数f在x_0点的Jacobi矩阵，记为Df(x_0)，具体形式如下：看背板

(ppt9)梯度的定义为：（动画1）如果f：R^n→R是可微的，注意这里f是标量函数，那么函数（动画2）

?f(x)=[(?f/(?x_1)(x)，…，?f/(?x_n)(x))]^T=Df(x)^T，

（动画3）称为f的梯度。梯度是从一个从R^n到R^n的函数，如果绘制梯度向量?f(x)，其起点为点x，箭头表示方向，如此可将梯度表示为向量场。

(ppt10)黑塞矩阵的定义为：（动画1）当f(x)在x点存在二阶偏导时，函数f在点x的黑塞（Hessen）矩阵定义为梯度算子作用在f(x)的梯度上。具体如下所示。当二阶偏导连续时，它是一个对称矩阵。

(ppt11)进一步，我们介绍两个基本定理。（动画1）定理1设f(x)具有连续的一阶偏导，x^*为f(x)的局部极值，则（动画2）

?f(x^*)=Df(x^*)^T?((?f(x^?))/(?x_1),(?f(x^?))/(?x_2),(?f(x^))/(?x_n))^T=0，

即函数f(x)的梯度等于零。

(动画3)定理2设f(x)在x∈R^n中有连续的二阶偏导数，且梯度?f(x^?)等于零，黑塞（Hessen）矩阵?^2f(x^?)正定，则x^*为f(x)的严格局部极小值点。

(ppt12)（动画1）下面我引入多维极值问题模型

(ppt13)我们考虑的问题类为：（动画1）无约束多维极值问题的一般表达式为：minf(x),x∈R^n，其中，x为向量，f(x)为标量函数。（动画2）下面在介绍最优化方法求解问题时，将要用到问题模型的导数(即多元函数的梯度)，有些算法甚至需要多元函数的雅可比矩阵。因此，这一类问题在有哪些信誉好的足球投注网站过程中需要用到的梯度，故称为梯度方法。

(ppt14)首先，我们介绍的是最速下降法。（动画1）一个实值可微函数在某点处函数值增加最快的方向，正交于经过该点的函数水平集，即在梯度方向上，自变量的细微变动所导致的目标函数值的增加幅度要超过其他任意方向。（动画2）因此，我们可知梯度方向就是函数增加最快的方向。反之，梯度负方向就是减小最快的方向。如图所示?f(x_0)方向为x_0梯度方向。

(ppt15)