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DifferentialGeometry
of
CurvesandSurfaces
ManfredoP.doCarmo
InstitutodeMatematicaPuraeAplicada(IMPA)
RiodeJaneiro,Brazil
Prentice-Hall,Inc.,UpperSaddleRiver,NewJersey07458
Contents
Prefacev
SomeRemarksonUsingthisBookvii
1.Curves1
1-1Introduction1
1-2ParametrizedCurves2
1-3RegularCurves;ArcLength5
1-4TheVectorProductinR3//
1-5TheLocalTheoryofCurvesParametrizedbyArcLength16
1-6TheLocalCanonicalForm27
1-7GlobalPropertiesofPlaneCurves30
2.RegularSurfaces51
2-1Introduction51
2-2RegularSurfaces;InverseImagesofRegularValues52
2-3ChangeofParameters;DifferentialFunctionsonSurfaces69
2-4TheTangentPlane;theDifferentialofaMap83
2-5TheFirstFundamentalForm;Area92
2-6OrientationofSurfaces102
2-7ACharacterizationofCompactOrientableSurfaces109
2-8AGeometricDefinitionofArea114
Appendix:ABriefReviewonContinuity
andDifferentiability118
Hi
ivContents
3.TheGeometryoftheGaussMap134
3-1Introduction134
3-2TheDefinitionoftheGaussMapand
ItsFundamentalProperties135
3-3TheGaussMapinLocalCoordinates153
3-4VectorFields175
3-5RuledSurfacesandMinimalSurfaces188
Appendix:Self-AdjointLinearMapsandQuadraticForms214
4.-TheIntrinsicGeometry
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