(6)--2.2-柯西定理数学物理方法.pdf

§2.2柯西定理

B

一、单通区域柯西定理

设函数在单通区域B上解析，则沿B上任

f(z)

一分段光滑的闭合曲线，有l

f(z)dz0l

l

证明：

f(z)dzu(x,y)dxv(x,y)dyiv(x,y)dxu(x,y)dy

lll

vuuv

-S()dxdyiS()dxdy

C-R条件xyxy

0

两点说明

1、单通区域柯西定理的推广

f(z)

设函数在单通区域B上解析，在闭单通区域上连续，则沿

B

上任一分段光滑闭合曲线(可以是边界线)，有

Bl

f(z)dz0

l

2、柯西定理的推论

单通区域上，解析函数的积分值与路径无关.

B

l(zz)f(z)dzl(zz)f(z)dz0●z1

101210

l

1

l

l(zz)f(z)dzl(zz)f(z)dz2

101201

●

z

0

dzy

例2-3：计算复积分lz3,l:z2

解：由于被积函数在l所围圆域解析，

在包括l的闭圆域上连续，故根据单

通区域柯西定理，有0x

dz

lz30

例2-4：计算如下复积分