(5.10)--2.4.1特征函数法求解波动方程.pdf

问题引入：

研究问题：两端固定的弦，受强迫力作用产生振动现象。

22

u2u

2a2f(x,t),0xl,t0,

tx

ux0uxl0,t0,(1)

u

ut0(x),(x),0xl.

t

t0

启发：

数学角度：分离变量法成功的关键是方程和边界条件都是齐次的。

若方程非齐次，边界条件为齐次的，能否运用分离变量法？

若能，如何求解？

物理角度：弦的振动是由两部分干扰引起的。一是强迫力，一是初始状态。

因此振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起

的振动。

第一步：分解：

可设解为：u(x,t)V(x,t)W(x,t)

其中V(x,t)表示仅强迫力振动的位移，满足：

22

V2V

2a2f(x,t),0xl,t0,

tx

VV0,t0,（2）

x0xl

V

V0,0,0xl.

t0t

t0

第一步：分解：

W(x,t)表示纯初始状态引起振动的位移，满足：

22

W2W

2a20,0xl,t0,

tx

WW0,t0,（3）

x0xl

W

Wt0(x),(x),0xl.

t

t0

注：不难验证，只要V(x,t)是(2)的解，W(x,t)是(3)的解，则

u(x,t)V(x,t)W(x,t)必为(1)的解。

第二步：求解问题（3）

特征：齐次方程齐次边界，可以直接用分离变量法求解，见（2.2.1）



nanan

Wx,tCcostDsintsinx