(3.51)--3.6.1 可展曲面的概念与判定.pdfVIP

微分几何

第三章第3.6曲面的第一基本形式节可展曲面

§3.6.1可展曲面的概念与判定

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直纹面如：柱面、锥面、正螺面、单叶双曲面、双曲抛物面等.

rr(u,v)a(u)+vl(u),a(u)

′റ′റ:റ()

റ×റ=റ()+()×≠0.

a(u)

直纹面

(ruledsurface)

一、可展曲面的特征——探究

考虑下面的三种直纹面：

r(u,v)a(u)=+vll0(u,v)(a,b);

1.柱面,其中是常向量,

r(u,v)a=+vl(u)a

2.锥面,其中是常向量,

(u,v)(a,b)(0,)；

3.切线曲面,其中(u,v)(a,b)(0,)，

r(u,v)a(u)=+va(u)



a(u)a(u)0.

它们的单位法向量分别是（与v无关）



l(u)l(u)a(u)a(u)

a(u)l

1.n2.n3.n



|l(u)l(u)||a(u)a(u)|

|a(u)l|

二、可展曲面的概念

这说明这三种直纹面有相同的特点:

沿着一条直母线=，切平面相互重合.

0

定义6.1设为直纹面.如果它的切平面沿每一条直母线

S

S

是不变的,则称为可展曲面.

三、可展曲面判定

定理6.1设直纹面的方程为r(u,v)a(u)=+vl(u),则是

SS

是可展曲面的