(3.48)--3.3.3 第一基本形式的应用2.pdfVIP

微分几何

第三章曲面的第一基本形式

§3.3.3第一基本形式的应用

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一、计算切向量的长度与夹角

.

如果drrdu=+rdv和rru=+rv是r(u,v)处的两个切向量，

uvuv

则它们的内积为

EFu

drr(du,dv)Eduu+F(duv+dvu)+Gdvv.（3.15）

FGv

因此切向量drrdu=+rdv的长度为

uv

|dr|Edu2=+2Fdudv+Gdv2.（3.16）

两个切向量drrdu=+rdv和rru=+rv之间的夹角(dr,r)满足

uvuv

一、计算切向量的长度与夹角

.

drr

cos(dr,r)

|dr||r|

Eduu+F(duv+dvu)+Gdvv

2222.（3.17）

Edu+2Fdudv+GdvEu+2Fuv+Gv

它们相互正交的充要条件是

Eduu+F(duv+dvu)+Gdvv0.（3.18）

定理3.1在参数曲面S:rr(u,v)上，参数曲线网正交F0.

证明：计算切标架夹角的余弦或用（3.18）.

二、计算曲面上曲线的弧长

.

对于参数曲面S:rr(u,v)上的一条曲线C:uu(t),vv(t),t[a,b]，

其弧长为

22

bbbdududvdv

La|dr|a|r(u(t),v(t))|dtaEdt+2Fdtdt+Gdtdt.（3.19）



由此得到：

2