(3.47)--3.3.2 第一基本形式性质.pdfVIP

微分几何

第三章曲面的第一基本形式

§3.3.2第一基本形式的性质

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一、参数变换下的不变量

S

对曲面作可允许的参数变换

uu(u,v)，vv(u,v)，

并记r(u,v)r(u(u,v),v(u,v)).则一阶由微分形式的不变性得

drrdu=+rdvrdu=+rdv.（*）I=റ⋅റ=|റ|2

uvuv

记参数变换（3.5）的Jacobi矩阵为

uv

Juu，（3.10）

uv

则有vv

一、参数变换下的不变量

.

uv

rrr

=(෤,෤)，

uuuuu

uvJ,(3.7)=(෤,෤)

rrr

vvv

vv

uv

(du,dv)(du,dv)uu(du,dv)J,（3.8）

uv

vv

因此在新的参数(u,v)下，度量矩阵成为

rrEF

EF

u=r,rJur,rJTJJT.（3.12）

(uv)(uv)

FGrrFG

vv



从而第一类基本量之间的关系为

一、参数变换下的不变量