(3.50)--3.5.2 保角对应等温参数网.pdfVIP

微分几何

第三章曲面的第一基本形式

§3.5.2保角对应与等温参数网的存在性

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类比导入

底面圆周长

底面圆周长

保长对应——合同变换的推广

保长对应的推广？全等与相似

一、保角对应（共形对应）——概念

定义5.2曲面间的一个对应，若保持曲面上对应曲线的

交角不变，称该对应称为保角对应（共形对应）.

注：保角对应是保长对应的推广.

与三角形全等与相似类似.

二、保角对应的判定

命题:→为保角对应

1

⇔∀∈，切映射:→保持切向量交角.

∗()1

参教材P115.

定理5.3:→为保角对应⇔在对应点的第一基本形式成比例.

1

证明⟸第一基本形式成比例，则存在函数,≠0，使得

2222

=，即=，=，=，代入曲面上曲线交角

1111

公式知对应曲线的交角相等.

二、保角对应的判定

⟹设曲面间的变换是保角变换，因此正交性不变，由正交条件

+++=0,

得+++=0.消去,，得

111

++

=.

++

1111

由与的任意性，令=0和=0，分别得

==.□

111

推论曲面间的保长对应必为保角对应，反之不真.

三、曲面局部共形

.

SS

定理5.5任意正则参数曲面必局部共形于平面，即上任意

pU

一点都有一个邻域可以与平面上的一个区域建立共形对应.故

任意两个正则参数曲面都可以建立局部共形对应.

定理5.5的证明从略.但是上面的推论是非常重要的.

三、曲面局部共形——实例

ሚ.

例3球面与圆柱面之间的保角对应，其中

:Ԧ,=(coscos,cossin,sin);