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江西省景德镇市2024届高三第三次质检数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，，，则是（????）

A． B． C． D．

2．下列有关复数，的等式中错误的是（????）

A． B．

C． D．

3．已知函数是奇函数，则时，的解析式为（????）

A． B． C． D．

4．已知是数列的前项和，，，则（????）

A． B． C． D．

5．已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（????）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则或

6．过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（????）

A．1 B．4 C． D．5

7．函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（????）

A． B． C． D．

8．六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．等边边长为2，，，与交于点，则（????）

A． B．

C． D．在方向上的投影向量为

10．正方体的棱长为6，，分别是棱，的中点，过，，作正方体的截面，则（????）

A．该截面是五边形

B．四面体外接球的球心在该截面上

C．该截面与底面夹角的正切值为

D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75

11．已知、是椭圆：上两个不同的动点（不关于两坐标轴及原点对称），是左焦点，为离心率.则下列结论正确的是（????）

A．直线的斜率为1时，在轴上的截距小于

B．周长的最大值是

C．当直线过点，且中点纵坐标的最大值为时，则

D．当时，线段的中垂线与两坐标轴所围成三角形面积的取值范围是

三、填空题

12．在中，，，分别为三个内角，，的对边，其中，，，则.

13．若关于，的三项式的展开式中各项系数之和为64，则；其中项系数的最大值为.

14．不经过第四象限的直线与函数的图象从左往右依次交于三个不同的点，，，且，，成等差数列，则的最小值为.

四、解答题

15．已知在正三棱柱中，，.

(1)已知，分别为棱，的中点，求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

16．近年来，景德镇市积极探索传统文化与现代生活的连接点，活化利用陶溪川等工业遗产，创新场景和内容，打造了创意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP，让传统文化绽放当代生命力.为了了解游客喜欢景德镇是否与年龄有关，随机选取了来景旅游的老年人和年轻人各50人进行调查，调查结果如表所示：

喜欢景德镇

不喜欢景德镇

合计

年轻人

30

20

50

老年人

15

35

50

合计

45

55

100

(1)判断是否有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关？

(2)2024年春节期间，景德镇某旅行社推出了A、B两条旅游路线.现有甲、乙、丙共3名游客，他们都决定在A、B路线中选择其中一条路线旅游，他们之间选择哪条旅游路线相互独立.其中甲选择A路线的概率为，而乙、丙选择A路线的概率均为，且在三人中有且仅有1人选择A路线的条件下该人为甲的概率为.设表示这3位游客中选择A路线的人数，求的分布列与数学期望.

附：

0.100

0.050

0.010

2.706

3.841

6.635

17．已知是双曲线：上的一个点，且与两焦点构成的三角形的面积是.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)是的右顶点，过点的直线与交于异于的不同两点、，与直线交于点.连接，并过作的平行线分别与直线、交于、两点.求证：是线段的中点.

18．已知函数，.

(1)当时，求函数的极值；

(2)已知实数.

①求证：函数有且仅有一个零点；

②设该零点为，若图象上有且只有一对点，关于点成中心对称，求实数的取值范围.

19．设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~.

(1)设，，，，求集合与；

(2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，；

(3)已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足