2025届高考数学精准突破复习极值点偏移问题.docxVIP

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2025届高考数学精准突破复习

极值点偏移

第一节极值点偏移的特征与判定

一、极值点偏移

我们知道若函数在时取极值，则称为函数的极值点．

若函数在定义域的某个区间上是连续函数，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点．如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：

若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏．

如函数．的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏．

所以，极值点偏移了区间的中点，本质上是由于函数的图象在区间上不关于直线对称引起的．

我们知道，若函数的图象在区间上是关于直线对称，则必有（或者写为，或者写为“若，则”），即当取一对关于对称的自变量值时函数值相等．此结论反之也成立，即若函数的图象在区间上是关于直线对称，且，必有．

所以若函数在区间的极值点为，且图象不关于直线对称，则（或者写为，或者写为“若，则”），反之，若函数的图象在区间上不关于直线对称，且，则．

因此，（或者）揭示了函数在区间上的极值点偏移了区间的中点，即．故此我们可以通过研究与的差值（或者与的差值）（不为）来研究与的差值．

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1．若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；

2．若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；

3．若函数存在两个零点且，令，求证：；

4．若函数中存在且满足，令，求证：．

三、极值点偏移的判定定理

（1）对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，若，则，即函数在区间上极大值点右偏；若，则，即函数在区间上极大值点左偏．

（2）对于可导函数，在区间上只有一个极小值点，方程的解分别为，且，若，则，即函数在区间上极小值点左偏；若，则，即函数在区间上极小值点右偏．

证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大值点，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极大值点右偏；

因为对于可导函数，在区间上只有一个极大值点，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极大值点左偏；

（2）因为对于可导函数，在区间上只有一个极小值点，则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极小值点左偏；

因为对于可导函数，在区间上只有一个极小值点，则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极小值点右偏．

图一左慢

图一

左慢右快，极值点右偏

左快右慢，极值点左偏

图二

图三左慢右快，极值点右偏

图三

左慢右快，极值点右偏

左快右慢，极值点左偏

图四

第二节极值点偏移处理策略一

——构造线性差函数

一、构造一元对称差函数法

由于，这是一个不等式，自然想到，则可令，则问题转变为研究是大于还是小于恒成立．

例如：已知函数，其中为自然对数的底数．证明：当，且时，．

分析：因为的定义域为，

，由，解得．则的单调性情况如下表：

0

0

+

单调递减

极小值

单调递增

∵，且，不妨设．

设函数（）．

∴．

∵当时，，∴．

∴当时，．∴函数在上单调递增．

∴，即当时，．

∵，∴．

又，∴．

∵在上单调，，且，又，

∴．∴．

又如：

函数与直线（）相交于，两点，证明：．

证明：因为，易得是函数唯一的极小值点．不妨设

法一：故令（），

则，易得若，则．

即在是增函数，且，即在上恒成立．

令，则

又，所以，显然，又在上是减函数，

则，即．

需要指出的是：

1．设函数，一定要设取研究的区间，即的左侧区间或右侧区间，因为我们要利用它结合的单调性研究（或）的正负．而和是位于的两侧的．

2．对于，．

3．利用的单调性得到了与在这一侧的大小关系，那么一种方式是可以令，代入以上不等关系即可得与的大小；

一种方式是利用该大小关系进行一次变换得到，即与的大小关系，再利用得到与的大小关系，由于与处于同一单调区间，则可以利用单调性得到．此处要十分注意变量要处理到的同一单调区间上才可以利用单调性得到正确结论．

例1：（2016年全国I卷理科第21题改编）已知函数有两个零点．设是的两个零点，证明：．

解：易得

因为，故易得是函数的唯一极值点，在上是减函数，在上是增函数，为极小值．

不妨设，令，则易得当时，．

．即．