2025届高考数学精准突破复习解三角形中图形问题.docxVIP

2025届高考数学精准突破复习

解三角形中图形问题

一、目标解读

三角形中的三边三内角是三角形的六个基本元素，围绕它们的计算，就是以正、余弦定理、三角形面积公式等为方程粗坯基础上的联立求解过程。三角形中的求值问题最基本的是两类：求角与求边长。求角类问题一般是先求出角对应的某个三角函数值，再结合题设中角的范围控制得出待求角，属于解三角方程范畴；求边长类问题则以待求边长为目标量寻找和建立方程，属代数方程（组），往往需要将角的关系利用正余弦定理转化为边的关系。复合图形中的解三角形问题，一般要多次运用正、余弦定理，以基本量和方程思想为指导，解决

问题。重点关注以下类型：

1、中线模型

涉及中线长的工具：在ΔABC中，D是AC中点，AD=(AB+AC)

2、角平分线模型：涉及角平分线的工具：ΔABC中，AD是BAC的角平分线

角平分线定理：EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(A),A)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(B),C)=EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(BD),DC)，

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或面积关系：SΔABC=SΔACD+SΔABD，即bcsinA=bxADxsin+cxADxsin，

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3、平面四边形模型

一般解三角形问题如果给出的平面图形是四边形，那么这其中所包含的三角形就有很多.思考过程大致可以概况如下流程：设角→在某个三角形中由正弦定理用角表示边→在另一个三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量关系→得出结论.

当然，如果题目众多三角形中有特殊三角形，比如直角三角形或等腰三角形，我们优先选择从这些三角形中设角.很多时候，学生没办法从一个三角形中找到等量关系，则尽可能多求图中的角.从而可以在两个三角形中找共同的边或角、从而得到一些等量关系、来解决问题.

二、问题探究

问题1：如图，在ABC中，D为边BC上一点，DC=3，AD=5，AC=7，DAC=ABC.

(1)求ADC的大小；

(2)求ABC的面积.

【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；

（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.

【解析】（1）在ΔADC中，cos经ADC=

又0O经ADC180O，所以经ADC=120O

==?AD2+DC2?AC232

==?

2AD.DC2x3x52

;

,

DCAC（2）在ΔADC中，==

DCAC

sin经DACsin经ADC

则sin经DAC=DCsiEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(n),A)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up4(经),C)ADC=3，

因为经DAC=经ABC，所以sin经ABC=，

在△ABD中，AD=AB，则AB=ADsin经ADB=35，

sin经ABCsin经ADBsin经ABC3

sin经BAD=sin(经ABC+经ADB)=sin(经ABC+60O)

=sin经ABCcos60O+cos经ABCsin60O=，

ADBDADsin经BAD40sin经ABCsin经BADsin

ADBDADsin经BAD40

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