2025届高考数学精准突破复习导数压轴题10种通用解法.docx

2025届高考数学精准突破复习

导数压轴题10种通用解法

方法一等价变形，转化构造

方法导读

研究函数的性质是高考压轴题的核心思想，但直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变形，通过恒等变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。

方法导引

例1已知函数f

(1)求函数g(x)的极值;

(2)当a≥1e

解析:(1)由gx=lnxx+1,得g

x

(0,e)

e

(e,+∞)

g(x)

+

0

-

g(x)

单调递增

极大值

单调递减

结合表格可知函数g(x)的极大值为ge

(2)要证明.fx≥gx,即证

所以只要证axe??lnx?x≥0,又因为a≥1c,所以axex?lnx?x≥

记?x

所以当x∈(0,1)时,h(x)0,从而F(x)0;当x∈(1,+∞)时,h(x)0,从而F(x)0,即F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,F(x)≥F(1)=0.所以当a≥1

例2已知a∈R,a≠0,函数f

(1)求f(x)的最小值;

(2)当a≥1时,求证:对任意x0,都有xf

解析:(1)因为fx=e???1?ax,则

故fx为R上的增函数,令f(x)=0,解得x=1a

当x∈1a+∞,

(2)证明:要证明xfx≥2ln

由(1)可知:e???1?ax≥0,即e???1≥ax,因为x0,故xe???1≥ax2,故等价于证明ax2≥2lnx+1,即ax2?2lnx?1≥0,x∈0+∞令gx=ax2?2lnx?1,即证g(x)≥0,x∈(0,+∞)恒成立.又令gx=0,解得x=1a故当

有因为a≥1,故lna≥0故gx≥lna≥0即证.即对任意x0,都有

方法二：构造常见典型函数

方法导读

常见典型函数主要包括：xlnx,x/ln

.方法导引

.

例3已知函数fx=aex?1

(1)求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；

(2)若gx=e?lnx+fx

思路分析：(1)先对函数f(x)求导，由函数在：x=2处的切线斜率为e2即可求出a的值，进而可得函数的单调性；(2)要证g(x)1，即证xlnxxex

【详解】1fx=aeexx=ae?exx?exx2

(2)由(1)知gx=exlnx+2cx?1x,定义域为(0,+∞).从而g(x)1等价于xlnxxcx?2e,设?x=xlnxx0),则?x=lnx+1,?1e=ln1e

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值和最值，考查了函数的思想和考生的发散思维能力，属于中档题.利用导数研究函数的单调性，首先求出函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误；证明不等式通过构造新函数，研究新函数的单调性，求得其最值是最常用的思想方法，本题解答的难点是(3)中通过构造新函数并求得其极值点，从而判断p的范围是解题的关键.

例4(2020·全国高三专题练习(理))已知函数f

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若.gx≥fx在

思路分析：(1)对函数进行求导得f

将不等式恒成立等价转化为a≤xe??x?lnx,再构造函数?x=xe??x?lnx,利用导数研究函数h(x)的最小值

当0xel?a时,f(x)0,f(x).单调递增；当xe

所以f(x)的单调递增区间为(0e1??,，单调递减区间为(

(2)由gx≥fx

也就是a≤xe??x?lnx,令?

则?

设tx=ex

又t1

所以存在x0∈121使得

当x∈0

当x∈x?+∞时,h(x)0,h(x)在(

所以?

所以a的取值范围是(?∞

点评：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题的处理方法：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若fx0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为fx???0,若fx0恒成立，就转化为f

方法三局部构造

方法导读

整体与局部是认识论重要的哲学视角，在研究函数问题要学会从不同视角观察函数结构，如果从整体观察函数结构感觉束手无策或复杂时，可以从观察函数的局部结构入手，可能会柳暗花明。

万法导引

例5.已知函数f

(1)当a0时,讨论函数f(x)的单调性

(2)当a=1时,Fx=fx+x+1

导引：(1)先求得定义域及函数的导函数，求得函数极值点.再由(a0,，可判断导函数的符号，即可判断函数的单调区间.

(2)将a=1代入f(x),再代入F(x)可得解析