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2025届高考数学精准突破复习

复数

一．复数的概念及其几何意义

【知识梳理】

1、我们把形如（，）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{|，}叫做复数集．

2、复数通常用字母表示，即（，）．以后不作特殊说明时，复数都有，，其中的和分别叫做复数的实部与虚部．

3、在复数集C＝{|，}中任取两个数，（，，，），我们规定：

与相等当且仅当且．

4、对于复数（，），当且仅当＝0时，它是实数；当且仅当＝＝0时，它是实数0；当≠0时，它叫做虚数；当＝0且≠0时，它叫做纯虚数．

5、建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

6、复数的模或绝对值，记作或，即，其中，．如果＝0，那么是一个实数，它的模就等于（的绝对值）．

【针对性训练】

1．在下列四个复数中，实部大于虚部的是

A． B． C． D．

2．已知复数，若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于

A． B． C． D．

3．已知，，，则

A．6 B．5 C． D．

4．下列命题为真命题的是

A．形如的数一定是虚数

B．若，互为共轭复数，则

C．在复平面中，虚轴上的点对应的复数不一定是纯虚数

D．若复数，则实数

5．若复数和相等，则的值为

A． B．或 C． D．

6．若复数不是纯虚数，则的取值范围是

A．或 B．且 C． D．

7．如果，则实数的值为．

8．已知，复数是虚数单位），则的取值范围是

A． B． C． D．

9．设为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数为

A． B． C． D．

10．已知复数对应的向量为为坐标原点），与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为

A． B．2 C． D．

二．复数的四则运算

【知识梳理】

1、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即如果，那么．

2、两个复数相加，类似于两个多项式相加．设，（，，，）是任意两个复数，那么它们的和．

3、对于任意，，，有

，（）（）．

4、两个复数相减，类似于两个多项式相减．设，（，，，）是任意两个复数，那么它们的和．

5、两个复数相乘，类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部和虚部分别合并即可．设，（，，，）是任意两个复数，那么它们的积

6、复数的除法法则是：（，，，且）．在进行复数运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，化简后就可得到上面的结果．这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”．

7、在复数范围内，实系数一元二次方程（）的求根公式为：

（1）当时，；

（2）当时，；

8、（选学）一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，简称三角形式．

【针对性训练】

11．已知，，，，，则等于

A．1 B． C．2 D．

12．复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为

A．， B．， C．， D．，

13．已知复数满足为虚数单位），则复数在复平面中对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．若复数满足，则

A． B． C． D．

15．已知复数，在复平面中对应的点分别为，，则．

16．若复数的实部与虚部相等，则实数．

17．已知复数，，其中是实数．

（1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；

（2）若，求．

18．若，则等于

A．1 B． C． D．

19．

A． B． C． D．

20．复数为虚数单位）的共轭复数是

A． B． C． D．

2024年高考数学三轮冲刺之复数

参考答案与试题解析

一．复数的概念及其几何意义

1．在下列四个复数中，实部大于虚部的是

A． B． C． D．

【答案】

【考点】虚数单位、复数；复数的运算

【专题】数学运算；方程思想；数系的扩充和复数；定义法

【分析】利用复数的定义直接求解．

【解答】解：对于，的实部为，虚部为，实部小于虚部，故错误；

对于，中，实部为2，虚部为2，实部等于虚部，故错误；

对于，中，实部为0，虚部为2．实数小于虚部，故错误；

对于，中，实部为3，虚部为2，实部大于虚部，故正确．

故选：．

【点评】本题考查复数的实部和虚部等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．已知复数，若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于

A． B． C． D．

【答案】

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算；共轭复数

【专题】综合法；数学运算；转化思想；数系的扩充和复数

【分析】利用，在复平面内对应的点关