(12)--[2.6]有限项法求解状态转移矩阵.ppt

第2章控制系统的状态方程求解有限项法求解状态转移矩阵

12有限项法求解状态转移矩阵第2章控制系统的状态方程求解矩阵A的零化多项式化有限项的有关理论定理：设有变量s的多项式Φ(s)，矩阵A是nxn阶方阵，若满足：Φ(A)=0则称Φ(s)为矩阵A的零化多项式。凯莱-哈密顿定理定理：矩阵Ａ的特征多项式是Ａ的零化多项式。即：则：

凯莱-哈密顿定理又因为adj(sI-A)中各元(n-1)次多项式，可一般表示为：证明：

凯莱-哈密顿定理代入上式有：用A代替s将上式展开得即证明：

3有限项法求解状态转移矩阵第2章控制系统的状态方程求解矩阵A的最小多项式化有限项的有关理论定义：A的零化多项式中，次数最低的零化多项式称为A的最小多项式，用Φ(s)表示。Φ(s)的求法：定理：设A的伴随矩阵adj(sI-A)全部元素的最大公因子为d(s)则

3有限项法求解状态转移矩阵第2章控制系统的状态方程求解矩阵A的最小多项式化有限项的有关理论注意：1.该定理证明要用到矩阵多项式的概念。2.计算Φ(s)要先求d(s)。将adj(sI-A)各元变为因子相乘的多项式，从中找出各元的最大公因子d(s)，且d(s)取首1多项式的形式.。

例1已知解：(1)试求A的最小多项式并验证凯莱-哈密顿定理。

例1已知试求A的最小多项式并验证凯莱-哈密顿定理。故A的最小多项式为：所以最大因子：进一步可验证上式是以A为根的零化多项式

例1已知试求A的最小多项式并验证凯莱-哈密顿定理。（2）验证凯莱-哈曼顿定理：

第2章控制系统的状态方程求解有限项法求解状态转移矩阵2.eAt能化成有限项的依据由凯莱-哈密顿定理知：则An可表示成低于n阶幂矩阵的线性组合。

第2章控制系统的状态方程求解有限项法求解状态转移矩阵2.eAt能化成有限项的依据上式表明：对于k≥n，Ak均可用An-1，…，A,I这n个独立项的线性组合来表示。所以可将eAt无穷项化成有限项。可令：待定系数a0(t)，a1(t)，...，an(t)的求法第一种情况：A的特征值互异特征方程：

第2章控制系统的状态方程求解有限项法求解状态转移矩阵2.eAt能化成有限项的依据设n个根为λ1，λ2，…，λn其中系数与前面eAt的系数相同。当k≥n时，

第2章控制系统的状态方程求解有限项法求解状态转移矩阵2.eAt能化成有限项的依据解此方程组，得系数

例2已知解：1.求特征值：求试用化eAt为A的有限项法求eAt

例2已知解：2.求系数ai(t)求试用化eAt为A的有限项法求eAt

最终结果为：

3.求

第2章控制系统的状态方程求解有限项法求解状态转移矩阵2.eAt能化成有限项的依据第二种情况：A有相重特征值设A有n重特征值λ1，则有解方程组即可求得系数：

第2章控制系统的状态方程求解有限项法求解状态转移矩阵2.eAt能化成有限项的依据第三种情况：系统有单根，也有重特征根设系统矩阵A的特征值中，λ1为m重特征值，λm+1，…，λn为互异的单特征值，根据情况二列写m个方程，根据情况一列写（n?m）个方程，解上述n个方程，即可得出系数ai(t)，(i=0，1，2，...，n-1)的计算公式。

例3已知系统矩阵解：1.求特征值：试用化eAt为A的有限项法求eAt

例3已知系统矩阵试用化eAt为A的有限项法求eAt2.求系数ai(t)：即

例3已知系统矩阵试用化eAt为A的有限项法求eAt2.求系数ai(t)：

3.求