7.5绝对值不等式 -2022届高考数学一轮复习讲义.docVIP

7.5绝对值不等式

一、学习目标

1.掌握绝对值不等式的解法；

2.理解绝对值三角不等式并会初步应用.

二、知识回顾

1.绝对值不等式的基本类型：

①；②或.

2.解绝对值不等式的基本方法：①去绝对值符号；②数形结合.

3.绝对值三角不等式：若，，则.

（1）等号成立条件：

①；②

③；④

拓展：，

当且仅当，，…，同号时取等号.

典例分析

例1.解不等式：（1）；（2）；（2）

【答案】（1）或；（2）或；（3）.

例2.（1）若关于的不等式的解集为，则______.

（2）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】（1）；（2）.

例3.（1）函数的最小值是_______.

（2）若实数满足，，则的最大值是_______.

【答案】（1）3；（2）7.

例4.已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.

(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－eq\f(1,2)；

(2)若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)因为a＝2，所以f(x)＝|x－3|－|x－2|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≤2，,5－2x，2x3，,－1，x≥3，))

所以f(x)≤－eq\f(1,2)等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2，,1≤－\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x3，,5－2x≤－\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥3，,－1≤－\f(1,2)，))解得eq\f(11,4)≤x3或x≥3，

所以不等式的解集为.

(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，

所以若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤eq\f(3,2)，

所以实数a的取值范围是.

例5.（1）已知的最小值为，

则实数_______；

（2）设函数，，求证：.

【答案】

（1）f(x)＝|x＋eq\f(1,x)－a|＋|x－eq\f(1,x)－a|＋2x－2a≥|(x＋eq\f(1,x)－a)－(x－eq\f(1,x)－a)|＋2x－2a

＝|eq\f(2,x)|＋2x－2a＝eq\f(2,x)＋2x－2a≥2eq\r(\f(2,x)·2x)－2a＝4－2a.

当且仅当eq\f(2,x)＝2x，即x＝1时，上式等号成立．由4－2a＝eq\f(3,2)，解得a＝eq\f(5,4).

（2）证明：f(x)－f(a)＝x2－x－a2＋a＝(x－a)(x＋a－1)，

所以|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|

＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1＜2|a|＋2＝2(|a|＋1)．

所以|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．

四、课外作业

1.不等式的解集是（）

A．B．C． D．或

【答案】C

2.已知是实数，且，则有（）

B.C.D.

【答案】D

3.若不等式有解，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

4.对任意,的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

解析：因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故选C.

5.已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是（）

A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4

C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2

【答案】B

解析：因为f(x)＝x2＋3x，所以f(x)－f(a)＝x2＋3x－(a2＋3a)＝(x－a)(x＋a＋3)，所以|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a＋3)|＝|x－a||x＋a＋3|，因为|x－a|≤1，所以a－1≤x≤a＋1，所以2a＋2≤x＋a＋3≤2a＋4，所以|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a＋3|≤|2a＋4|≤2|a|＋4，故选B.

6．设，满足不等式的的取值范围是__________．

【答案】

7.若不等式的解集非空，则实数的取值范围是___________.

【答案】或.

8.若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】

9.对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|