专题06 平面向量（知识梳理）-2020-2021学年高一数学单元复习（人教A版必修4） .docxVIP

专题06第二章平面向量(知识梳理)

学习目标

1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.

2.了解平面向量基本定理.

3.向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).

4.了解向量形式的三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2.

5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).

6.向量的坐标概念和坐标表示法.

7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).

8.数量积(点乘或内积)的概念：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，注意区别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法.”

1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).

向量运算

法则(或几何意义)

坐标运算

向量的线性运算

加法

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)

减法

a－b＝(x1－x2，y1－y2)

数乘

(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λa＝(λx1，λy1)

向量的数量积运算

a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0

数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积

a·b＝x1x2＋y1y2

2.两个定理

(1)平面向量基本定理

①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

(2)向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

3.向量的平行与垂直

a，b为非零向量，

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

a∥b

有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)

x1y2－x2y1＝0

a⊥b

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0

类型一向量的线性运算

例1(1)如图所示，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为______.

(2)已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q＝(sinA－cosA,1＋sinA)是共线向量，则角A＝________.

答案(1)eq\f(3,11)(2)eq\f(π,3)

解析(1)设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))，

则eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))

＝(m－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→)).

eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).

∵eq\o(BP,\s\up6(→))与eq\o(BN,\s\up6(→))共线，∴eq\f(1,4)(m－1)＋eq\f(2,11)＝0，∴m＝eq\f(3,11).

(2)∵p∥q，

∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(sinA－cosA)(cosA＋sinA)＝0，

∴2－2sin2A＝sin2A－cos2A，

∴sin2A＝eq\f(3,4).

又A为锐角，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝eq\f(π,3).

反思与感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心；是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.

跟踪训练1(1)平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，连接DC延长至E，使|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(ED,\s\up6(→))|，则点E的坐标为