八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理.docxVIP

17.2勾股定理的逆定理

互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.

题型1：互逆命题

1.（2021八下·武侯期中）下列命题的逆命题为假命题的是（）

A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

B．若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等

C．若c＝d，则（a﹣b）c＝（a﹣b）d

D．两直线平行，同位角相等

【变式1-1】下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④垂线段最短．其中（）

A．①④是真命题 B．①③是真命题

C．②③是真命题 D．①②④是真命题

【变式1-2】（2021八上·西湖期中）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是，逆命题是命题（填“真”或“假”).

勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

题型2：勾股定理的逆定理

2.下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（）

A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10

【变式2-1】（2022七上·招远期末）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）．

A．a=3，b=2，c=5 B．a=40，b=50，

C．a=54，b=1，c=34 D．a=

【变式2-2】（2022八下·承德期末）满足下列条件的三边长为a、b、c的△ABC，不是直角三角形的是（）

A．b2=a

C．∠C=∠B-∠A D．∠A

如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如）.

验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

题型3：判定三边能否构成三角形（具体数值、比值或字母参数）

3.在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a=32，b=52

【变式3-1】（2021八下·云浮期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由．

【变式3-2】（2022八上·嘉兴期中）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中a=m-n，b=2mn，c=m+n，且mn0

【变式3-3】已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．

（1）求证：△ABC是直角三角形．

（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．

勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

注意：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

勾股数的求法：

如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a2=b+c，则a,b,c为一组勾股数；

如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.

题型4：勾股数及规律问题

4.下列各组数中，为勾股数的是（）

A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12

【变式4-1】若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（）

A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或

【变式4-2】观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．

【变式4-3】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当n＜150时，共有组