八年级数学下册19.2.3一次函数与方程、不等式八大题型（解析版）.docxVIP

19.2.3一次函数与方程、不等式

一次函数与一元一次方程的关系

一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.

方程组解的几何意义

1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．

2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：

根据交点的个数，看出方程组的解的个数；

根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．

3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．

题型1：一次函数图象与一元一次方程的解

1.（2023春·八年级课时练习）如图是一次函数的图象，则关于的一次方程的解是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的图象得出一次函数与轴的交点坐标是，把坐标代入函数解析式，求出，再求出方程的解即可．

【详解】解：从图象可知：一次函数与轴的交点坐标是，

代入函数解析式得：，

解得：，

即，

当时，，

解得：，

即关于的一次方程的解是，

故选：D．

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．

【变式1-1】如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），则方程kx+b＝2的解是（）

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定

【分析】根据点P的坐标即可得出答案．

【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），

∴当y＝2时，x＝3，

即方程kx+b＝2的解为x＝3，

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，体现了数形结合的思想，理解点P的坐标的意思是解题的关键．

【变式1-2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（）

x

…

﹣1.5

0

1

2

…

y

…

6

3

1

﹣1

…

A．y随x的增大而增大

B．该函数的图象经过一、二、三象限

C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1

D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2）

【分析】先把两个点的坐标代入y＝kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y＝﹣2x+3，再逐个判断即可．

【解答】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），

把点的坐标代入y＝kx+b得：，

解得：k＝﹣2，b＝3，

即函数的解析式是y＝﹣2x+3，

A．∵k＝﹣2＜0，

∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；

B．∵k＝﹣2，b＝3，

∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；

C．当y＝1时，﹣2x+3＝1，

解得：x＝1，

即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意；

D．∵b＝3，

∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．

【变式1-3】如图，根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：

（1）关于x的方程kx+b＝0的解；

（2）当x＝1时，代数式kx+b的值；

（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．

【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；

（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可

（3）利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可．

【解答】解：（1）当x＝2时，y＝0，

所以方程kx+b＝0的解为x＝2；

（2）当x＝1时，y＝﹣1，

所以代数式kx+b的值为﹣1；

（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，

所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键

题型2：解一元一次方程与一次函数坐标轴交点

2.一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）

A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0）

【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值可得答案．

【解答】解：∵一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，

∴函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（3，0），

故选：A．

【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握