高斯主元素消失法.docxVIP

第二节高斯主元素消去法

供）

问题的提出：由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现 =0的情况，

g

这时消去法将无法进行；即使主元素 尹0,但很小时，用其作除数，会导致其

他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠。

引例求解方程组

0.0012.0003.000?

打

■1-000?

-1.0003.7124.623

2.000

-2.0001-0725-643.

A3.

3-000.

用4位浮点数进行计算。

解：方法1用高斯消去法求解。

「0.0012.0003.000:1-000?

(A\ 1.0003-7124.623:2.000

-2.0001.0725.643:3.000.

■0-0012.0003-000:1-000-

TOC\o1-5\h\z0 2004 3005 : 1002

0 4001 6006 : 2003 .

■0.0012.0003-000:1-000-

0 2004 3005 : 1002

0 0 5.000 : 2.000 .

其中

皿21=-1-000/0.001二-1000*31=-2-000/0.001=-2000

曲=4001/2004=1-997)

计算解为：

x二(-0.400,-0.0998,0.400)T

显然计算解牙是一个很坏的结果，不能作为方程的近似解。

方法2交换行，避免绝对值小的主元做除数。

「0.0012.0003.000:1.000-(A-1.0003.7124.623:2.000

-2.0001-0725-643:3-000_

?-2.0001_0725_643；

—-1.0003.7124.623:

.0_0012_0003_000:

■-2.0001.0725.643:

—0 3.1761-801；

.0 0 1.868:

得计算解为：

x=(-0.4900,-0.05113,0.3678)tex*.

这个例子告诉我们，在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦,故应避

(fr)

免采用绝对值小的主元素a。对一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵(或消元后的低价矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性，这就是全主元素消去法，在选主元时要花费较多机器时间，目前主要使用的是列主元消去法。

本节主要介绍列主元消去法，并假定(2.1)的A^RnXn为非奇异的。

1.列主元素消去法

设方程组(2.1)的增广矩阵为：

%

M3 ，*.

^12

:方广

B=

^21

M3 ，*.

^22

:^2

:…

勺2

:

首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如：

|a|=max|a|尹0，IWiWn

然后交换B的第一行与第%行，经第一次消元计算得

(A|b)f(A(2)|b⑵)

重复上述过程，设已完成第k-1步的选主元素，交换两行及消元计算，(A|b)约化

.^11 ^12…耳3 …

我也■

■里1 ■

■h、■

a22

里2

瓦kk…

日in

垃

. 标…

■

..

.方皿I

为:

为:

（2.2）

其中A（k）的元素仍记为aij,b（k）的元素仍记为外。

第k步选主元素（在A（k）右下角方阵的第一列内选），即确定ik，使

|驾丘|二皿吊里1驾」7^=0?女三壬

交换（A（k）|b（k））第k行与ik列的元素，再进行消元计算,最后将原方程组化为

（k=1，2…，n-1）:

11 a

11 a12 ali7

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?里1.

Ab?

回代求解

2.高斯-若当消去法

高斯消去法始终是消去对角线下方的元素，现考察高斯消去法的一种修正，即消去对角线下方和上方的元素，这种方法称为高斯-若当（Gauss-Jordan）消去法。通过选主元，消元等过程最终化为：

■1:.

QM）?|疗）=1... *

. 1 :bn.

说明：用高斯-若当方法将A约化为单位矩阵，计算解就在常数位置得到，因此用不着回代求解,用高斯-若当方法解方程组其计算量要比高斯消去法大，但用高斯一若当方法求一个矩阵的逆矩阵还是比较合适的。

定理4（高斯-若当法求逆矩阵）设A为非奇异矩阵，C=（A|I）,如果对C

应用高斯一若当方法化为（I|T）， n

n

则A-i=T。

解：

-123-4=245

例4用高斯-若当方法求

的逆矩阵以及

■123；11

45；20

56；30

■356；30

245；20

.1