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高阶等差数列

一、 基本知识

定义：对于一个给定的数列｛aj,把它的连结两项an+i与an的差气「气记为bn，得到一个新数

列｛bj，把数列bn你为原数列①的一阶差数列，如果cn=bn+i-bn，则数列｛cn｝｛an｝的二阶差数列依此类推，可得出数列｛aj的P阶差数列，其中试Nn n

如果某数列的p阶差数列是一非零常数列，则称此数列为p阶等差数列

高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称

高阶等差数列的性质：

如果数列｛a｝是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p-1阶等差数列

n

数列｛an｝是p阶等差数列的充要条件是：数列｛aj的通项是关于n的p次多项式

如果数列｛aj是p阶等差数列，则其前n项和Sn是关于n的p+1次多项式

高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前n项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有：

M-1

逐差法：其出发点是an=a1+

待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项an与前n项和Sn是确定次数的多项式(关于

n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得 n

裂项相消法：其出发点是an能写成an=f(n+1)-f(n)

化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的

二、 例题精讲

例1.数列｛aj的二阶差数列的各项均为16,且a63=a89=10，求有

解：法一：显然｛aj的二阶差数列｛bn｝是公差为16的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1)X16,

= 、 lj+S+O—2)16］『八

22(奁用一*3】=+2ZR= + (压一1)

于是an=a1+* x 古

=a1+(n-1)a+8(n-1)(n-2)

这是一个关于n的二次多项式，其中n2的系数为8,由于a63=a89=10，所以

an=8(n-63)(n-89)+10，从而有=8(51-63)(51-89)+10=3658

解：法二：由题意，数列｛a｝是二阶等差数列，故其通项是n的二次多项式，n

可设an=A(n-63)(n-89)+10

由于｛aj是二阶差数列的各项均为16，所以(3-2)-(2-])=16

即a3-2a2+a1=16，所以

A(3-63)(3-89)+10-2[A(2-63)(2-89)+10]+A(1-63)X(1-89)+10=16

又a63=a89=10，故

解得：A=8

an=8(n-63)(n-89)+10，从而有=8(51-63)(51-89)+10=3658

例2.一个三阶等差数列｛an｝的前4项依次为30,72,140,240，求其通项公式

解：由性质(2)，an是n的三次多项式，可设an=An3+Bn2+Cn+D

由a1=30气=72、气=140、气=240得

A+B+C+D=3^

27.4+95+3(7+^=140

解得:

C=14

所以a=n3+7n2+14n+8n

例3.求和：Sn=1X3X22+2X4X32+?+n(n+2)(n+1)2

解：Sn是是数列｛n(n+2)(n+1)2｝的前n项和，

因为an=n(n+2)(n+1)2是关于n的四次多项式，所以｛aj是四阶等差数列，于次多项式

是Sn是关于n的五

k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求Sn可转化为求

立止做+1)优+2)做+3) 止优+1)做+2)

Kn=和Tn=心

k(k+1)(k+2)(k+3)=5[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)],所以

史先+1)w+2)侬+3)[冉3+1)3+2)3+3)3+4)

K=* =5

n

立赋t+DW+2)顼理+1)3+2)3+3)

T=* =4

n

+1)(珂+冲+3)(由+3)

从而Sn=Kn-2Tn=1°

例4.已知整数列｛a｝适合条件：n

an+2=3an+「3an+an],n=2,3,4,…

2a2=a1+a3-2

a5-a4=9,a1=1

求数列｛a｝的前n项和Snn

解：设bn=an+]-an,Cn=bn+]-bn

C=b-b=(a-a)-(a-a)=a-2a+a=(3a-3a+a)-2a+a=a-2a+an n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1 n n+1 n n-1 n+1 n n+1 n n-1

=Cn-1(n=2,3,4,…)

所以｛C｝是常数列n

由条件⑵得C1=2,则｛aj是二阶等差数列

立蚓二知+3—1)也1+3