高中数学选择性必修第一册：1-3 空间向量及其运算的坐标表示-教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

秋季

课题

1.3空间向量及其运算的坐标表示

教科书

书名：选择性必修第一册

出版社：人民教育出版社

教学目标

1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养；

2.掌握空间向量运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养；

3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，培养逻辑推理的核心素养；

4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题，强化数学运算和逻辑推理的核心素养

教学内容

1、教学重点

理解空间向量的坐标表示及其运算

2、教学难点

运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问

教学过程

一．空间直角坐标系

平面直角坐标系

平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成．利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系．平面向量的正交分解。

空间直角坐标系

类似地，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

设计意图：通过平面直角坐标系与空间直角坐标系进行对比，让学生在原有的知识基础上加深对新知识的理解，在对比的过程中进行转化化归。

探究：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？

在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使．

例1如图，在正方体中，，以为单位正交基底，建立如图所示空间直角坐标系.

写出四点的坐标；

（2）写出向量的坐标.

二．空间向量运算的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．

(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．

(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．

(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

在空间直角坐标系中，设A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，a＝eq\o(OA,\s\up15(→))，b＝eq\o(OB,\s\up15(→))，其中O为坐标原点，则

(1)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).

(2)夹角：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝

eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).

(3)垂直：若a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

(4)平行：若b≠0，则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．

(5)eq\o(AB,\s\up15(→))＝(b1－a1，b2－a2，b3－a3)．

(6)dAB＝|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝

eq\r(?a1－b1?2＋?a2－b2?2＋?a3－b3?2).

三．典例分析

例2如图，在正方体中，分别是的中点．求证

例3棱长为1的在正方体中，是的中点．分别在

、上，，.

求的长.

求与所成角的余弦值.

课堂小结