积分地变换原理.docxVIP

§5.4 定积分的换元法

一、换元公式

1、函数在上连续；2、函数在区间

1、函数

在

上连续；

2、函数

在区间

上单值且具有连续导数；

3、当在上变化时，的值在

3、当在

上变化时，

的值在

上变化，且

，

(1)

证明：

假设是

假设

是

在

上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式

有

另一方面，函数的导数为这表明：函数是在

另一方面，函数

的导数为

这表明：函数

是

在

上的一个原函数，故有：

3、对

于时，换元公式(1)仍然成立。

从而有对这一定理给出几点注解：

从而有

1、用替换，将原来变量 代换成新变量

1、用替换

，将原来变量 代换成新变量后，原定积分的限应

求出

的原函数

后，不必象不定积分那样，将

变换成原变量 的函数，只需将新变量

变换成原变量 的函数，只需将新变量的上下限代入

中然后相减

(1)、在单值且

(1)、

在

单值且

连续；

(2)、

【例1】求【解法一】令当时，；当时，

【例1】求

【解法一】令

当

时，

；当

时，

。

又当

时，有

【解法二】令

当

时，

；

当

时，

。

又当

时，

，

且变换函数在上单值，

且变换函数

在

上单值，

在

上连续，

且变换函数在

且变换函数

在

上单值，

在

上连续，

解：设，

解：设

，

当

时，

；当

时，

注意：

【例2】求在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。换元公式也可以反过来，即

【例2】求

一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。

对

对

作替换

得

二、常用的变量替换技术与几个常用的结论

1、若在

1、若

在

上连续且为偶函数，则

2、若在上连续且为奇函数，则

2、若

在

上连续且为奇函数，则

故有

若为偶函数，则若为奇函数，则【例4】若在上连续，证明：1、

若

为偶函数，则

若

为奇函数，则

【例4】若

在

上连续，证明：

1、

2、

并由此式计算定积分1、证明：设，2、证明：设，

并由此式计算定积分

1、证明：设

，

2、证明：设

，

【例5】求解：令，

【例5】求

解：令

，

故评注：

故

这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。