定积分及微积分基本定理练习题及答案.docxVIP

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1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案

1.(2011·一中月考)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )A．S＝??1(x2－x)dx B．S＝??1(x－x2)dx

0 0

C．S＝??1(y2－y)dy D．S＝??1(y－ y)dy

0 0

[答案] B

[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．

?[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝?1(x－x2)dx.

?

0

2．(2010·日照模考)a＝??2xdx，b＝??2exdx，c＝??2sinxdx，则a、b、c的大小关系是

0 0 0

()

A．acbB．abcC．cbaD．cab[答案]D

1

[解读] a＝??2xdx＝2x2|02＝2，b＝??2exdx＝ex|02＝e2－12，c＝??2sinxdx＝－

0 0 0

cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，

∴cab.

3．(2010·理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )

1 1 1 7

A. B.C.D.12 4 3 12

[答案] A

??y＝x2

[解读] 由?

??y＝x3

得交点为(0,0)，(1,1)．

∴S＝?1(x2－x3)dx＝???10?x3－31 ? 1x4??01＝ .

∴S＝?1(x2－x3)dx＝

?

??1

0

?x3－

3

1 ? 1

x4??01＝ .

4 ??

12

[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函

数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：

( )

??4 16?? ??4 16??

A. ， B. ，

?3 9? ?5 9?

??4 15?? ??4 13??

C. ， D. ，

?3 7? ?5 7?

[答案] A

t3

?[解读] 设P(t，t2)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx，∴S1＝?t(tx－x2)dx＝6；S2＝

?

0

8 t3 4 ??4 16??

?2(x2－tx)dx＝－2t＋ ，若S1＝S2，则t＝，∴P ， .

?t 3 6 3 ?3 9?

4．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为( )

4 18

A．4 B.C. D．6

3 5

[答案] A

?[解读] S＝?2x3dx＝

?

0

x4?02＝4.4

?5．(2010·省考试院调研)??1－1(sinx＋1)dx的值为( )

?

A．0 B．2

C．2＋2cos1 D．2－2cos1[答案] B

[解读] ??1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝

2.

6．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( )A．2π B．3π

3π

C.2D．π

[答案] A[解读] 如右图，S＝∫02π(1－cosx)dx＝(x－sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称

[答案] A

[解读] 如右图，S＝∫02π(1－cosx)dx

＝(x－sinx)|02π＝2π.

??π ??

?6，π?，则对称性就无能为力了．

?7．函数F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上( )

?

0

有最大值0，无最小值

32

有最大值0和最小值－3

32

有最小值－3，无最大值

既无最大值也无最小值[答案] B

[解读] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，

7 32 25

∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－ ，F(5)＝－ .

3 3 3

32

∴最大值为0，最小值为－3.

?[点评] 一般地，F(x)＝?xφ(t)dt的导数F′(x)＝φ(x)．

?

0

1

?8．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝?xtdt，若f(x)a3，则x

?

1

的取值围是( )

?? 3 ??

A.?6，＋∞?B．(0，e21)

C．(e－11，e) D．(0，e11)[答案] D

1

?[解读] f(x)＝?xtdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx11得，

?

1

0xe11.

9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC随机投一点(该点落在矩形OABC任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴