群的定义和性质.pptVIP

数学与信息科学系授课教师:近世代数

§2.1群的定义和初步性质

定义1设是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：①都有；②，，使得，则称为的左单位元；一、群的定义③，，使得,则称为中元素的左逆元；则称对代数运算作成一个群。

验证对其运算作成群的条件：集合非空1代数运算2结合律满足3左单位元4左逆元5

解：则为的左逆元；例1令表示数域上全体阶方阵构成的集合，设问关于矩阵的普通乘法能否作成群？故关于普通乘法作成一个群。因故因故设设则为的左单位元；

例2设，定义，证明：对其运算作成一个群。2）由于，故为的代数运算；故对其运算作成一个群。故3）因证明：1）因，故非空；4）因，故的左单位元是；5）因，故的左逆元是；

群的单位元和每个元素的逆元惟一。3二、群的性质以后记为群的单位元。群的左单位元也是群的右单位元。2以后记为的逆元。群中每个元素的左逆元也是它的右逆元。1

群有限群无限群交换群非交换群元素个数是否满足交换律三、群的分类

解：由题意知对，有。由交换群的定义知是交换群。例３如果群的每个元素都满足问一定是交换群吗？

小结群的定义群的分类群的性质

布置作业P39第4、5题

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