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2010年考研数学二试题与答案解析(完整版)

2010年考研数学二试题与答案解析(完整版)

2010年考研数学二试题是由计算题、解答题和填空题组成的。本文将主要介绍其中的计算题。

第一道计算题是求二重积分。

题目要求计算积分?Dxydxdy，其中D为二维区域D:0=x=1,0=y=1。

解答如下：

将二重积分看作是在一个矩形区域上的积分，可以将该矩形划分为多个小矩形，进而将二重积分转化为多个小矩形面积的和的形式。

先将矩形区域D划分成4个小矩形，再将每个小矩形展开得到”小长方形“，即把小矩形的两边展开成长方形，这样就得到了一个边长为1的大正方形。每个小矩形展开后的面积等于小矩形的面积，所以二重积分的值等于这些小矩形的面积之和。

根据题目给出的区域D:0=x=1,0=y=1可以得到以下4个小矩形：(0,0)-(1,0),(0,0)-(0,1),(1,0)-(1,1),(0,1)-(1,1)。

将这四个小矩形展开成长方形后，我们可以得到四个边长为1的正方形，其面积和为：1+1+1+1=4。

所以?Dxydxdy=4.

第二道计算题是求函数导数。

题目给出函数y=arcsin(sqrt(x))/sqrt(1-x)，要求计算其导数。

解答如下：

利用链式法则，我们可以将函数的导数分解为各个函数的导数的乘积。

首先，我们需要求出sqrt(x)和sqrt(1-x)的导数。

对于sqrt(x)，其导数为1/2sqrt(x)。

对于sqrt(1-x)，其导数为-1/2sqrt(1-x)。

然后，我们需要求出arcsin函数的导数。对于arcsin(x)，它的导数为1/sqrt(1-x^2)。

将上述结果代入链式法则的公式，我们可以得到y的导数为：

dy/dx=(1/sqrt(1-x^2))*(1/2sqrt(x))-(arcsin(sqrt(x))/(2sqrt(1-x)))*(1/2sqrt(1-x))。

化简上述表达式，我们可以得到dy/dx的结果。

参考答案：dy/dx=(1-x)/(2x*sqrt(1-x^2))。

第三道计算题是求函数的积分。

题目给出函数f(x)=∫_[0,x]2t(t-1)dt，要求计算f(x)的表达式。

解答如下：

根据积分的定义，我们可以将该积分表示为f(x)=x^2(x-1)-∫_[0,x]2t(t-1)dt。

我们可以将该积分继续化简，∫_[0,x]2t(t-1)dt=∫_[0,x](2t^2-2t)dt。

再对上述积分进行计算，我们可以得到∫_[0,x](2t^2-2t)dt=2/3x^3-x^2。

将上述结果代入f(x)=x^2(x-1)-∫_[0,x]2t(t-1)dt中，我们可以得到f(x)的表达式为：

f(x)=x^3-x^2-(2/3x^3-x^2)=1/3x^3。

参考答案：f(x)=1/3x^3。

以上是2010年考研数学二试题的计算题部分的答案解析。这些题目涉及了二重积分、函数导数以及函数的积分等知识点，希望对考生复习备考有所帮助。