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2015年考研数学试题详解及评分参考

2015年考研数学试题详解及评分参考

今年的考研数学试题分为基础数学、一元函数、高等代数与解析几何、概率论与数理统计四个部分，共计12个小题。下面将对每个小题进行详解并给出相应的评分参考。

第一部分基础数学

1.若方程组

(2x+1)^2+(3y-2)^2=10

（x+3）^2+（y-4）^2=13

的解为（x,y）=（a，b），则a+b的取值范围是?（4分）

解析：将两个方程进行展开，得到

4x^2+4x+1+9y^2-12y+4=10

x^2+6x+9+y^2-8y+16=13

整理后可得

x^2+y^2+2x-3y=0

将此式表示成标准的圆的方程，得

（x+1）^2+(y-1.5)^2=4.25=2.125*2

故此式表示的是一个以(-1,1.5)为圆心，半径为2.125的圆。

显然，对于两个圆的交点，存在两个交点。所以，方程有两个解。即a+b的取值范围应该是2*(-1+1.5)=1。

评分参考：对于解析的过程正确，给3~4分。对于解答正确的，给2分。综合考虑，整体给分范围应该在3~5分。

2.已知数列an满足a1=2,a2=12，对于n=3,4,5,6，有a_n=2a_(n-1)-a_(n-2)。若有a200＝2^99*3^50*k，求k的值（5分）

解析：根据题目中所给的数列的递推公式可以得到

a3=2*a2-a1=2*12-2=22

a4=2*a3-a2=2*22-12=34

a5=2*a4-a3=2*34-22=46

a6=2*a5-a4=2*46-34=58

可以发现数列an就是一个等差数列，而且等差是12。因为a6=58，a1=2，所以共有(58-2)/12+1=5项。即a5=2+12*4=50。所以k的值应该是50/(2^99*3^50)。

根据给出的解题过程，整体能力和思路均正确，给出4.5到5分的评分。

第二部分一元函数

3.设曲线C由参数方程

x=a*(t-1)+b*(t-1)^3

y=a*(t-1)-b*(t-1)^3

确定,a,b0。C与x轴和y轴分别交于A,B，直线L与曲线C相切于A点.若C再与x轴和y轴分别交于C和C，则L过BC的中点，求BCC的面积.(10分)

解析：首先，求出曲线C与x轴的交点C

当y=0时，可得

a*(t-1)-b*(t-1)^3=0

即a=b*(t-1)^2

因为a,b都是正数，所以t=1，a=b

同理，曲线C与y轴的交点C也是(a,a)。

根据题目要求，直线L过BC的中点，也即是过(a/2,a)，所以直线L的方程为

y=a+2a(x-a/2)=2ax-a

将直线L与曲线C相交，可以得到

a*(t-1)-b*(t-1)^3=2a(t*(a-b)-a)

化简后可以得到

(t-1)^2=t*(a-b)-1

整理后可以得到

t^3-2t=0

可以得到t=0,t=sqrt(2),t=-sqrt(2)

将t=0代入曲线C的方程可以得到交点A是(0,a)。

将t=sqrt(2)代入曲线C的方程可以得到交点A是(sqrt(2)a,0)。

综上所述，可以确定曲线C与x轴，y轴和直线L的交点坐标分别为C(sqrt(2)a,0),C(0,a),A(0,a/2)。从而可以求得BCC的面积为：

S=0.5*a*sqrt(2)*a*0.5=0.25*a^2*sqrt(2).

对于解答的过程正确的给5分，如果只给出答案的给3.5分。

第三部分高等代数与解析几何

4.设B是3x3非零实矩阵，且满足BB^T=0。下列命题正确的是（）（5分）

A.B=0

B.方程xB-Bx=A的解不为0

C.存在一个非零的矩阵满足B^2=O

D.行向量x是B的列空间的基

解析：由BB^T=0，可以得到B的转置和自己的乘积为零。所以B和B的变秩相等，即秩为0。而非零矩阵的秩不可能为零，所以A选项是错误的。

对于B选项，我们可以得到xB-Bx=A，x不等于零。所以B选项是正确的。

对于C选项，我们可以得到B的平方为零，也即是说存在一个非零的矩阵满足B^2=0。所以C选项是正确的。

对于D选项，列空间的维数为0，对应的列向量的空间是零。所以D选项是错误的。

综上所述，正确答案是B和C。对于正确答案的，给3~5分的评分。

第四部分概率论与数理统计

5.设随机变量X的概率密度为

f(x)={2/(a+b),a≤x≤b,o