五年高考真题105二项分布与正态分布.docxVIP

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第五节 二项分布与正态分布

考点一 条件概率与相互独立事件的概率

1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312

解析 该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648.答案 A

2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A．0.8 B．0.75 C．0.6

0.6

D．0.45

解析 由条件概率可得所求概率为0.75＝0.8，故选A.

答案 A

3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形

3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的

内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆

(1)P(A)＝ .

(2)P(B|A)＝ .

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解析 圆的半径为1，正方形的边长为

π 2

扇形面积为4.故P(A)＝π，

1

2

P（A∩B） π 1

2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，

P(B|A)＝

P（A）

2 1

＝ ＝ .2 4

π

答案 (1) (2)

π 4

4．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

作物产量(kg)

300

500

概率

0.5

0.5

作物市场价格(元/kg)

6

10

概率

0.4

0.6

设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于

000元的概率．

解 (1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，

因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为

500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，

300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.

P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，

P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，

P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，

所以X的分布列为

X

X

4000 2000

800

P

0.3

0.5

0.2

(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，

P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，

季的利润均不少于2000元的概率为

P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；

3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋

P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，

所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.

5．(2013·辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

求张同学至少取到1道乙类题的概率；

已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类

3 4

题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用5 5

X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

解 (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．

因为P(A)＝C36 1

C3＝6，

10

5

所以P(A)＝1－P(A)＝ .

6

(2)X所有的可能取值为0，1，2，3.

?3?0?2?21 4

?5?P(X＝0)＝C02·?

?5?

? ?

?5?

＝ ；

5 125

? ? ? ?