人教版数学高二选修23讲义离散型随机变量的均值.docxVIP

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离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值

理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)

掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)

会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 离散型随机变量的均值

阅读教材P60～P61例1，完成下列问题．

定义：若离散型随机变量X的分布列为：

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．

意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)

＋b.

下列说法正确的有 ．(填序号)

①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；

②随机变量的均值反映样本的平均水平；

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③若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4；

n④随机变量X的均值E(X)＝x1＋x2＋…＋xn.

n

【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.

【答案】 ③

已知离散型随机变量X的分布列为：

X

X

P

1

3

5

2

3

10

3

1

10

则X的数学期望E(X)＝ .

3 3 1 3

【解析】 E(X)＝1×5＋2×10＋3×10＝2.

3

【答案】 2

3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝ .

【解析】 E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.

【答案】 35

教材整理2 两点分布与二项分布的均值

阅读教材P62～P63，完成下列问题．

两点分布和二项分布的均值

若X服从两点分布，则E(X)＝p；

若X～B(n，p)，则E(X)＝np.

随机变量的均值与样本平均值的关系

随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．

?4 1?

若随机变量X服从二项分布B??，3??，则E(X)的值为 .

【导学号

1 4

【解析】 E(X)＝np＝4×3＝3.

4

【答案】 3

篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中

的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是 ．

【解析】 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2

＝0.8.

【答案】 0.8

袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，

连续摸取4次，设X是取得红球的次数，则E(X)＝ .

6 3 ?4 3? 3

【解析】 每一次摸得红球的概率为10＝5，由X～B??

12

＝5.

，5??，则E(X)＝4×5

12

【答案】 5

[小组合作型]

某运动员投篮命中率为p＝

某运动员投篮命中率为p＝0.6.

求投篮1次时命中次数X的数学期望；

求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．

【精彩点拨】 (1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．

【自主解答】 (1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：

X

X

0

1

P

P

0.4

0.6

则E(X)＝0.6.

(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.

常见的两种分布的均值

设p为一次试验中成功的概率，则

(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.

熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．

两点分布与二项分布辨析

(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：

①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.

②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．

[再练一题]

1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2