能量原理与变分法1.pptxVIP

2023/11/141西安交通大学航天航空学院宋亚勤yqsong@mail.xjtu.edu.cn2013年9-10月固体力学非线性数值方法2023必威体育精装版整理收集do something 2023/11/142第一章弹性力学简介 第二节：能量原理与变分法1、弹性体形变势能2、泛函与变分—— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法3、位移变分方程4、应力变分方程—— 最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理5、自然变分原理和广义变分原理6、弹性力学修正变分原理 2023/11/1431. 弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）几何方程（3）物理方程（4）边界条件应力边界条件；位移边界条件；定解问题求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;（2）按应力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）边界条件。（b） 相容方程；（c） 边界条件。（a） 归结为求解联立的微分方程组；求解特点：（b） 难以求得解析解。 从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：（3）混合解法 2023/11/1442. 弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理—— 能量原理 直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，广义（约束）变分原理。—— 位移法—— 力法—— 混合法有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法。求解方法：里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin ）法、最小二乘法、力矩法等。 2023/11/1453. 弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）—— 有限差分法；基本思想：将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。典型软件：FLAC实质：将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解—— 有限单元法、边界元法、离散元法 等典型有限元软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。—— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 2023/11/146§1 弹性体的变形能（应变能）1. 变形能的一般表达式Pxl0?l单向拉伸：P?lO外力所做的功： 由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的变形能（或应变能）U：杆件的体积令：—— 单位体积的变形能（应变能），称为应变能密度。 2023/11/147三向应力状态：一点的应力状态：? x?y?z整个弹性体的应变能：若用张量表示：应变能密度：整体应变能： 由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。 假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹性），此时，单元体的应变能密度： 2023/11/1482. 应变能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程：代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：代入应变能公式，有： 2023/11/149表明：弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应变分量。3. 应变能的应变分量表示用应变表示的物理方程：将应变能密度分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得： 2023/11/1410代入应变能密度公式，并整理可得： 将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较，可得： 2023/11/1411将几何方程代入应变能的表达式，得：弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。4. 应变能的位移分量表示表明： 2023/11/1412§2 泛函与变分（1）函数与泛函的概念：函数：x —— 自变量；y —— 因变量；泛函：x —— 自变量；y —— 为一变函数，泛函的宗量；F —— 为函数 y 的泛函；例：U 被称为形变势能泛函。 2023/11/1413（2）微分 变分设函数：当自变量 x 有一增量：函数 y 也有一增量： dx 与 dy分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。