第一部分-函数与极限学习指导.docVIP

第一部分-函数与极限学习指导 第一部分 函数与极限 一、内容提要 1．函数是微积分是研究的对象。它反映了客观世界中变量间的依赖关系，它有两个要素：对应规则和定义域。这是函数概念中最本质的东西，只要对应规则和定义域都相同，则就是同一个函数，而与函数中的自变量和因变量用什么字母表示是无关的。如果两个函数的对应规则和定义域不完全相同，则就是两个不同的函数。另外，在函数的定义中重要的是，自变量在定义域内每取得一个数值时，因变量总有确定的值与它对应。至于函数的表达方式，在定义中并没有限制；函数可以用公式(—个或几个)表示，也可用图形或表格表示。 2．基本初等函数有六类，常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。初等函数是微积分研究的主要对象，而初等函数是由基本初等函数构成的。因此，熟练掌握基本初等函数的图形及特性就显得十分必要。 3．极辗概念是在研究函数的变化趋势过程中抽象出来的一个重要概念，它是微积分的基本概念之一。极限方法又是微积分中的基本分析方法。所以对于极限概念和极限方法都应较好地掌握。函数极限的形式虽然很多，但主要的是及 两种。只要把这两种形式的精确定义能理解清楚，那么其它各种极限形式的定义也就迎力而解了。因此，我们在学习过程中务必对这两种定义花较多的时间，反复体会定义中的绝对值不等式之间的联系。这两个定义既是重点又是难点，必须突破难点抓住重点。 4．如果函数当（或）时的极限为零，这时函数称为（或）时的无穷小，无穷小的概念在极限理论中是一个重要的概念；特别是在定理2.1尤为重要，它指出 与（其中） 这两件事是等价的。它说明了无穷小与一般极限之间的关系，从无穷小量的性质过渡到极限运算法则，主要是根据上述关系而得到的。 5．有了关于极限的运算法则以后，我们就可以解决有理分式(分母的极限不为零)的求极限问题。当分母的极限为零时，就要灵活地寻找其他方法求极限。 6．根据两条极限存在准则，我们证明了两个重要极限：及。从而可使较多的求极限问题得以解决。 解：因相当于，令，便可看出相当于，即。 由此可见，的几何意义是以为中心，以3为半径的一个邻域。 例2 解，并说明它的几何意义。 解：所给不等式要求满足两个条件：第一，，第二，。从第一个条件解得或，而第二个条件是除了以外的任何数都能满足有。因此条件在几何上表示以为中心，以3为半径的一个邻域，但其中点本身必须除去。 从上面的例子可以体会到：在几何上，表示坐标为和坐标为的两点间的距离。如果表示一正数（），则不等式表示以点为中心，以为半径的邻域，不等式表示以点为中心，以为半径的邻域，不过这邻域的中心必须除去。 2．函数与是否是相同的函数? 要回答这个问题，只要对照函数的定义即可。我们知道，如果两个函数的对应规则和定义域不完全相同，则就是两个不相同的函数。由于的定义域是 ，而的定义域是，所以这两个函数是不相同的函数。 3．在学习反函数时，必须注意：如果是的反函数，我们不能把理解为一定是从直接函数中解出来的。 首先要明确，只表示与之间有一种函数关系，这函数可能是用一个式子表示的，也可能是用几个式子表示的，也可能根本不是用式子表示的。把认为一定是由一个式子表示的看法是不正确的。而且，即使是由一个式子表示时，要从这个式子中解出来也不一定是可能的。在反函数的概念中，并没有规定一定是由一个式子表示的，更没有规定一定要解得出来。因此—般来说，不能把看作—定是从中解出来而得到的。虽然就课本中所举的例子来看，的确都是从中解出来的，但这些都是特殊的，简单的例子而巳。此外应该认识，如果是的反函数，则也是的反函数。这是因为当两个函数的定义域及对应规则完全相同时(自变量与因变量用什么字母表示是无关紧要的)，这两个函数就是相同的函数。现在函数(是自变量，是因变量)与(是自变量，是因变量)的定义域是相同的，而且对应规则也相同，所以与表示同一个函数；它们同为的反函数。 4．利用函数的图形可以清楚地了解函数的性态。目前我们应该熟悉各类基本初等函数的图形和性态。对于一个初等函数来说，要想作出它的图形，并不是容易的事。现在我们只可利用基本初等函数的图形作出一些比较简单的函数图形。对于一般的函数图形的作法，我们将在以后的章节中加以讨论。 5．关于复合函数，我们主要应掌握把一个复合函数热练地通过复合步骤分成几个基本初等函数，也应能根据几个中间变量写出复合函数。因为这些对于以后学习导数及不定积分都是十分重要的。 6．数列的极限定义是：如果对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数N，使得对于时的一切，不等式总成立，则称是数列的极限。数列的极限定义也称为数列的极限的说法。这一说法主要是由(与和N相联系的)两个不等式 和 所组成的。后一个不等式反映出变量和常量接近的状态，而前一个不等式则指出变量和常量接近到这种状态时在变化