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平行导向柔性杆动力学建模方法 0 柔性机构动力学建模 采用顺附机构取代传统机构的运动关节，依靠顺附器官的大变形来传递力、运动和能量。柔顺机构以结构简单、容易制造、无摩擦磨损、容易装配、高精度及高可靠性、轻质量及实现微型化等优点在机械应用领域内有着广泛的使用。 目前对柔顺机构的研究主要集中在运动学领域。HOWELL等提出了基于运动等效的伪刚体模型法。FRECKER等从结构学的角度对柔顺机构的运动特性进行了分析。SAXCENA等基于结构拓扑优化的均匀化方法对柔顺机构进行运动优化。但是对柔顺机构动力学的研究还比较少。在研究柔顺机构动力学问题时,文献中把它等效伪刚体模型并看作动力学模型来分析。基于伪刚体模型,文献中提出了柔顺机构的动力学等效模型。在推导柔性杆动能时,两者都没有考虑柔性杆件变形对动能计算所造成的影响。 本文充分考虑柔性杆的变形特性,结合伪刚体模型所得末端点边界条件,通过数值拟合方法,建立柔性杆的变形曲线,进而推导出柔性杆的动能表达式。根据柔性杆变形能等于末端作用力所做的功,结合伪刚体模型,对刚性杆末端作用力进行路径积分,推导出柔性杆势能表达式。在此基础上建立了平行导向柔顺机构的动力学模型。最后,通过具体算例证明该模型是可行的。 1 柔性杆动能的澄清 1.1 大变形情况下柔性杆动能表达推导 柔顺机构动力学模型是研究机构动力学特性的前提和基础,而建立柔顺机构动力学模型的关键是确定系统中柔顺元件的动能及势能表达式。如何推导柔性杆的动能表达式是一个待解决的问题。文献所建立的动力学模型并没有考虑柔性杆大变形所产生的影响。 针对上述问题,本文提出一种用于大变形情况下柔性杆动能表达推导的新方法。基本思想是:在大变形状态下,由欧拉一伯努利方程建立柔性杆模型的变形方程。由文献可知,基于运动等效所提出的伪刚体模型主要以柔性杆末端点为研究对象而且伪刚体模型的准确性已经得到验证。根据柔性杆的伪刚体模型,确定末端点的位置坐标及转角以及运动与末端作用力的关系。根据柔性杆模型所得变形方程并结合伪刚体模型确定的边界条件,通过数值模拟方法,拟合出柔性杆变形曲线。变形曲线对时间求导,得到柔性杆上任意点的速度。然后,对整个柔性杆动能积分便可以推导出柔性杆动能表达式。结合柔性杆的不同受力模式,给出动能表达的详细推导过程。 1.2 柔性杆动能积分 图1a所示为末端纯力矩M作用下的柔性杆模型。l为柔性杆长,P为柔性杆上任意一点,位置坐标(x,y),柔性杆在该点处的转角为θ,柔性段OP长度为s。对于柔性杆模型,由欧拉一伯努利方程,可得柔性杆上任一点P的位姿为 式中EI为柔性杆的刚度。 对图1中柔性杆上的点O、A,由式(1)可得 由文献知,柔性杆的等效伪刚体模型如图1b所示。y为刚性杆长系数,Φ为刚性杆的等效转角。根据伪刚体模型所示,易得末端点A的位姿为 式中γ=0.734 6,cθ=1.516 4。 联立式(3)、(4),可得末端点A的位姿 联立式(1)、(2)、(5),推导柔性杆上任一点P的坐标(x,y)可表示为(用刚性杆转角θ表示) 柔性杆变形曲线对时间求导,得到杆上任一点P的速度为 对柔性杆动能积分,则柔性杆的动能为 式中 p——柔性杆材料密度 联立式(7)、(8),可得柔性杆动能为 式中m——柔性杆质量 kΦ——动能当量系数 由式(10)中可以看出,动能当量系数kΦ表示为刚性转角Φ的函数。通过数值模拟方法,kΦ简化为多项式形式 图2a、2b分别给出了简化前后即式(10)、(11)所得动能当量系数的比较以及相对误差分析。结果表明,当刚性转角Φ=0～1.5 rad时,计算相对误差只有0.5%,这说明动能当量系数kΦ的简化表达式是可行的。 图3a所示为末端竖直力F作用下的柔性杆模型。l为柔性杆长,P为柔性杆上任意一点,位置坐标(x,y),柔性杆在该点处的转角为θ,柔性段OP长度为s。对于柔性杆模型,由欧拉一伯努利方程,可得柔性杆上任一点P满足方程 易知柔性杆的边界条件为 由文献可得此柔性杆的等效伪刚体模型,如图3b所示。γ为刚性杆长系数,Φ为刚性杆的等效转角。由伪刚体模型易得末端点A的位姿为 式中γ=0.8517,cθ=1.2385。 由于在大变形情况下,根据式(12)～(14)无法求出变形曲线的解析解。因而通过数值模拟及多项式拟合方法,导出柔性杆变形曲线及柔性杆上任一点P的位置坐标(x,y)为 式中ls=s/l 图4a是柔性杆末端在垂直力作用下,在不同等效转角Φ时,变形曲线拟合多项式所得柔性杆变形情况与ANSYS仿真结果的比较。从图4a中可以看出,两者是比较吻合的。图4b是两者所得结果的相对误差分析。图4b分析表明,由于在固定段附近,柔性杆的变形量较小,在靠近固定端O处相对误差稍大些,但是仍小于1%,而当柔性段相对长度x/l0.2时,两者相对误差不足0.05%