割线定理托勒密定理.docxVIP

精锐教育学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：年级 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题： 授学时间： 学习目的 教学内容 1 ，如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点 (不与B、C重叠)， 求证：PA=PB＋PC． 2， 如图，PT切⊙O于T，PBA、PDC为⊙O的割线，则下列等式成立的是（? ? ） A. ??????????????????? B. C. ???????????????????????????????? D. 3， 已知PA切⊙O于A，PBC交⊙O于B、C，且PB=BC，若PA=6，则PB长为（??? ） ??? A. ????B. ????C. 3??? D. 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即： 切割线定理：从圆外一点引圆的 切线和 割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。是 圆幂定理的一种。 　　几何语言： 　　∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 　　∴PT的平方=PA·PB（切割线定理） \o 查看图片 ?? ?? 推论： 　　从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 　　几何语言： 　　∵PBA，PDC是⊙O的割线 　　∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）( 割线定理） 　　由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD 证明 　　切割线定理证明: 　　设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PTsup2;=PA·PB 　　证明：连接AT, BT 　　∵∠PTB=∠PAT( 弦切角定理) \o 查看图片 ?? ∠P=∠P(公共角) 　　∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 　　则PB：PT=PT：AP 　　即：PTsup2;=PB·PA 一、完善图形 借助托勒密定理 例1， 证明“勾股定理”： 在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 例2， 如图，在△ABC中，∠A的平分 线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． ． 二、构造图形 借助托勒密定理 例3，若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1． 求证：ax＋by≤1． 三、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理 例4，已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一种等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 四、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理 例5， 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4， 五，割线定理的应用 例6，已知P为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，则有关的函数关系式为???? 。 ? 例7，如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。 ? 例8， 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。 ? 例9，两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。 ? 例10， P为弦AB上一点，C在圆O上，OP⊥PC，求证： （1） （2）若CM=MO=3，OP=4，求AP 例11， 如图，AB切⊙O于B，OB交割线ACD于E，AC=CE=3，OE=，求AB长。 ? 例12， 如图，⊙O中直径AE⊥BF，M为OE中点，BM延长交⊙O于C，连AC，求中三个内角的正切值。 ? 例13， 如图，已知中，以C为圆心，作圆与AB相切于点D，且AD=9，BD=16 （1）求⊙C的半径 （2）求的值 一、在求最值中的应用 许多题目如果能够使用该定理，能够改善解题过程，减少运算量，为考试赢得贵重的答题时间，下面的例子略去了原来比较复杂的解答（如三角换元、运用基本不等式等），直接给出简略的解答，以阐明切割线定理在解题中的作用． 例14， 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图2所示，塔高米，塔所在的山高OB为220米，OA=200米，图中所示的山坡可视为直线，且点P在直线上，与水平地面的夹角为，，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人的身高）？ 二、在求交点