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自适应控制 作业三：自适应调节器（STR） Tasks： 姓名： 学号： 1. Derive minimum variance controller for process Ay(t) ? z?k Bu(t) ? Ce(t) . Furthermore, a process is described by the following equation: y ?1.9y k k ?1 ? 0.9y k ?2 ? u k ?2 ? u ? e k ?3 k ? 0.5e k ?1 Find the minimum variance controller for the process. Determine the minimum variance of this process; 此单入单出系统的受控自回归滑动平均模型为：Ay(t) ? z?k Bu(t) ? Ce(t) 这里k表示延迟，因此若两边同时乘以zk ， 这样模型就可以写为： zk Ay(t) ? Bu(t) ? zk Ce(t) y(t ? k) ? B G BG ?[ u(t) y(t) ? z-k u(t)] ? Fe(t ? k ) ? A C AC ? [ B ? z-k G ?u(t) ? G y(t)] ? Fe(t ? k) AC?1 ? A C ? ? C ?[ B ??C ? z-kG ??u(t) ? G y(t)] ? Fe(t ? k) ??A ?? C ?? C ? ? ?[ B AF u(t) ? G y(t)] ? Fe(t ? k) A C C ?[ BF u(t) ? G y(t)] ? Fe(t ? k) C C ? 改写为： Ay(t ? k ) ? Bu(t) ?Ce(t ? k ) ，即 y(t ? k) ? B u(t) ? C e(t ? k ) A A C 这里可将 A C 写成： A  ? 1? a 1 z?1 ? a 2 z?2 ? ... ? a  k ?q z?( k ?1) ? ...因此扰动的形式为 C e(t ? k ) ? 1? a e(t ? k ?1)? a e(t ? k ? 2) ? ... ? a e(t ?1)? a e(t ?1)?... A 1 2 k ?1 k C令C ? AF ? z ? k G ，那么 C A ? F ? z? k G A 其中F,G都是 z? k 的多项式，分别将其写成多项式的形式为： ?F ? 1? f z?1 ? f z?2 ? ...? f z?(k?1) 1 2 k 1 ? ?G ? g ? g z?1 ? g z?2 ? ...? g z?ng ? 0 1 2 k 1 ng ? max? na ?1,nc ? k ? 那么 y(t ? k ) ? [ B u(t) ? G e(t)] ? Fe(t ? k) A A 由原模型可知e(t) ? A y(t) ? z ? k B u(t) 代入上式可得： C C y(t ? k ) ? B G BG ?[ u(t) y(t) ? z-k u(t)] ? Fe(t ? k ? A C AC ? [ B ? z-k G ?u(t) ? G y(t)] ? Fe(t ? k) ?1 ? AC? ? C A C ?[ B ??C ? z-kG ??u(t) ? G y(t)] ? Fe(t ? k) ??A ?? C ?? C ? ? ?[ B AF u(t) ? G y(t)] ? Fe(t ? k) A C C ?[ BF u(t) ? G y(t)] ? Fe(t ? k) C C 最小化评价函数： J ? E[ y2 (t ? k)] ? E[ y(t ? k | t) ? Fe(t ? k)]2 ? E[ y(t ? k | t)]2 ? (1? f 2 ? f 2 ? ... ? f 2 )? 2 1 2 k ?1 e ? BF G 显然当 y(t ? k ) 为零的时候J才能达到最小值。即 y(t ? k | t) ? [ BFu(t) ? Gy(t) ? 0 u(t) ? y(t)] ? 0 ，由此可以推C C 出or, u(t) ? ? G y(t) 因此输出地最小方差为J ? (1? f 2 ? f 2 ? ... ? f 2 )? 2 min 1 2 BF k ?1 e 闭环特征根即为： C ? AF ? z?k G 控制信号为: u(t) ? ? G y(t) BF 对于过程： yk ?1.9 yk ?1 ? 0.9 yk ?2 ? uk ?2 ? uk ?3 ? e ? 0.5e ?1 k k提炼出A,