柱体、锥体、台体、球的 同步习题.docxVIP

柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 同步习题 一、基础过关 1 1 ．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的2时，它的体积是原来的 ( ) 1 1 1 2 A.2 B.4 C.8 D. 4 两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( ) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为 ( ) a∶b b∶a a2∶b2 b2∶a2 若球的体积与表面积相等，则球的半径是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高 4 cm，则钢球的半径是 cm. 1 1 1 1 1 1 1如图，在长方体ABCD－A B C D 中，AB＝AD＝3 cm，AA ＝2 cm，则四棱锥 A－BB D D 的体积为 1 1 1 1 1 1 1 7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是 ； (2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是 ． 在球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． 二、能力提升 有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( ) 4π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3 C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确 圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则它的体积和表面积分别为 ( ) 2π，6π C．4π，6π 3π，5π D．2π，4π 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 m3. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 三、探究与拓展 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点， 求这三个球的表面积之比． 答案 1．C 2.A 3.B 4.C 5.3 6．6 7．(1)球 (2)球 8．解 ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a. ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径． ∴2R＝ 3a，R＝ 3 2 a， 4 4 3 3 ∴V＝3πR3＝3π( 2 a)3＝ 2 πa3. 9．A 10.A 11.9π＋18 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面． 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 3r，则容器内水的体积为 V＝V 1 －V ＝ π·( 3 4 5 r)2·3r－3πr3＝3πr3， 而将球取出后，设容器内水的深度为 h， 圆锥 球 3 则水面圆的半径为 3 3 h， 从而容器内水的体积是 1 3 1 V′＝3π·( 3 h)2·h＝9πh3， 由 V＝V′，得 h＝3 15r. 即容器中水的深度为3 15r. 解 设正方体的棱长为 a.如图所示． 中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面， 所以有 2r ＝a， 1 a r1＝2， 所以 S ＝4πr2＝πa2. 1 1 中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面， 2r ＝ 2a，r ＝ 2 2 2 2 a， 所以 S ＝4πr2＝2πa2. 2 2 中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面， 3 3 3所以有 2r ＝ 3a，r ＝ 2 a 3 3 所以 S ＝4πr2＝3πa2. 3 3 综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.