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重 庆 中 考 几 何 一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质 1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，E 为 AB 延长线上一点，连接ED，与BC 交于点 H．过E 作CD 的垂线，垂足为 CD 上的一点F，并与 BC 交于点G．已知G 为CH 的中点，且∠BEH= 若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； 若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； 若CD=4，BH=1，求AD 的长． （1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G 是HC 的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC；（2） ∴△EBH≌△GFC； （2）解：过点H 作HI⊥EG 于 I， ∵G 为CH 的中点， ∴HG=GC， ∵EF⊥DC， HI⊥EF， ∴∠HIG=∠GFC=90°， ∠FGC=∠HGI， ∴△GIH≌△GFC， ∵△EBH≌△EIH（AAS）， ∴AD=4-1=3． 2、已知，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以 AB、AC 为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE． 如图 1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD； 如图 2，连接DE 交AB 于点F．求证：F 为 DE 中点． 证明：（1）∵△ABD 和△ACE 是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE， 在△DAC 和△BAE 中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC=BE； （2）如图，作DG∥AE，交AB 于点G， 由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°， ∴∠DGF=∠FAE=90°， 又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°， 又∵△ABD 为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB， 在△DGB 和△ACB 中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB 在△DGB 和△ACB 中， ∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ∴△DGB≌△ACB（AAS）， ∴DG=AC， 又∵△AEC 为等边三角形，∴AE=AC， ∴DG=AE， 在△DGF 和△EAF 中， ∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ， ， ∴△DGF≌△EAF（AAS）， ∴DF=EF，即F 为 DE 中点． 3 3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD 与 BC 延长线交于点 F，G 是 DC 延长线上一点，AG⊥BC 于 E． 求证：CF=CG； 连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE 的长． 解答：（1）证明：连接 AC， ∵DC∥AB，AB=BC， ∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2； ∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC， ∴△ADC≌△AEC， ∴CD=CE； ∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴CF=CG．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴CF=CG． （2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8， ∴AB=BC=CE+BE=10， ∴在 Rt△ABE 中，AE= AB2-BE2 =6， ∴在 Rt△ACE 中，AC= AE2+CE2 = 2 10 由（1）知，△ADC≌△AEC， ∴CD=CE，AD=AE， ∴C、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE⊥AC，DE=2EH；（8 分） 1 1 在 Rt△AEC 中，S = △AEC 2 AE?CE= 2 AC?EH， ∴EH= AE ? CE AC 6 ? 2 = 2 10 3 10 = 5 3 10 6 10 ∴DE=2EH=2× 5 = 5 点，连接 CQ，DP⊥CQ 于点 E，交 BC 于点 P，连接OP，OQ；4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是 AC 点，连接 CQ，DP⊥CQ 于点 E，交 BC 于点 P，连接OP， OQ； 求证： △BCQ≌△CDP； OP=OQ． 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD， 又∵DP⊥CQ，∴∠2+∠1=90°， 又∵DP⊥CQ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3， 在△BCQ 和△CDP 中， ∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ∴△BCQ≌△CDP． ． （2）连接OB． 由（1）：△BCQ≌△CDP 可知：BQ=PC， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， 而点 O 是 A