高中数学竞赛平面几何讲座.docxVIP

.. .w . . . w 第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例 1 、设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BP＝CQ,A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使 ∠BAP＝∠CAQ 时,△ ABC 是什么三角形？试证明你的结论. D 答： 当点A 运动到使∠BAP＝∠CAQ 时,△ ABC 为等腰三角形. 证明：如图 1,分别过点 P、B 作 AC、AQ 的平行线得交点 D.连结 DA. 在△DBP＝∠AQC 中,显然∠DBP＝∠AQC,∠ DPB＝∠C. 由 BP＝CQ,可知△DBP≌△AQC.有 DP＝AC,∠ BDP＝∠QAC. A B P Q C 图1 于是,DA∥BP,∠ BAP＝∠BDP.则 A、D、B、P 四点共圆,且四边形 ADBP 为等腰梯形.故 AB ＝DP.所以 AB＝AC. 这里,通过作平行线,将∠ QAC“平推”到∠BDP 的位置.由于 A、D、B、P 四点共圆,使 证明很顺畅. 例 2、如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形,∠BAF＝∠BCE.求证：∠ EBA＝∠ADE. 证明：如图 2,分别过点 A、B 作 ED、EC 的平行线,得交点 P,连 PE. 由 AB C∥D,易知△ PBA≌△ECD.有 PA＝ED,PB＝EC. P 显然,四边＝形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE＝∠BPE,∠ APE＝∠ADE.由∠BAF＝∠BCE,可知 E A G D ∠BAF＝∠BPE.有 P、B、A、E 四点共圆.于是,∠ EBA＝∠APE.所以,∠ EBA＝∠BADEF. C 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E 四点共圆图,2紧密联系起来.∠ APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例 3、在△ABC 中,BD、CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂 线,M、N、Q 为垂足.求证：PM＋PN＝PQ. A 证明：如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F,过点 F 作 BC 的 N P M 平行线分别交 PQ、AC 于K、G,连 PG. 由 BD 平行∠ABC,可知点 F 到 AB、BC E D F G B K C 两边距离相等.有 KQ＝PN. 显然, EP ＝ EF ＝ CG Q ,可知 PG∥EC. PD FD GD 图3 由 CE 平分∠BCA,知 GP 平分∠FGA.有 PK＝PM.于是,PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ. 这里,通过添加平行线,将 PQ“掐开”成两段,证得 PM＝PK,就有 PM＋PN＝PQ.证法非常简捷. 、为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例 4 设 M 、M 是△ABC 的 BC 边上的点,且 BM ＝CM .任作一直线分别交 AB、AC、 1 2 1 2 AB AC AM AM AM 、AM 于 P、Q、N 、N .试证： ＋ ＝ 1 ＋ 2 . 1 2 1 2 AP AQ AN AN A PN P N1 N Q 2 证明：如图 4,若 PQ∥BC,易证结论成立. 若 PQ 与 BC 不平行, 设 PQ 交直线 BC 于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于 E. 由 BM ＝CM ,可知 BE＋CE＝M E＋M E, 1 2 1 2 B M M C D E 易 知 AB ＝ BE , AC ＝ CE , AM 1 AP DE AQ DE AN M E AM ＝ 1 , 2 DE AN M E 1 2 ＝ 2 . 图4 DE 1 AB AC BE ? CE M E ? M E 2 AM AM 则 ＋ ＝ ＝ 1 2 ＝ 1 ＋ 2 . AP AQ DE DE AB AC AM AM AN AN 1 2 所以, ＋ ＝ 1 ＋ 2 . AP AQ AN AN 1 2 这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通