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科目代码： 663 科目名称： 数学分析 北京工业大学2010 年硕士研究生入学考试试题 ★所有答案必须做在答题纸上，做在试题纸上无效！ 共十道题，每题15 分 a =a 0 1 ⎛ 2 ⎞ n =1，2，L { } a = a + a 一、 证明：若 ， ⎜ ⎟， ，则数列 0 n 2 ⎝ n−1 a ⎠ n n−1 收敛，求其极限。 二、 证明：若函数f (x ) 在[a,+∞) 上连续，且 lim [bx −f (x )] =0 ，其中 x →+∞ b 为非零常数，则 f (x ) 在[a,+∞) 上一致连续。 ( ) ( ) 三、 证明：若∀x ∈a，b ，有f ′′(x ) ≥0 ，则对∀x , x ,L, x ∈ a, b ， 1 2 n 下列不等式成立 + + + ⎛x1 x2 L xn ⎞ 1 [ ( ) ( ) ( )] f ≤ f x +f x + +f x . ⎜ ⎟ L ⎝ n ⎠ n 1 2 n ∞ x n 四、 设f (x ) =∑ ，0 ≤x ≤1. n2 n =1 ( ) (1).证明：∀x ∈ 0, 1 ,有 f (x ) +f (1 −x ) +(ln x ) ln(1 −x ) =c(常数) ; c (2).求常数 . n k 五、求极限lim∑ n 2 −k 2 . n3 n→∞ k =1 1 共 2 页 第 页 科目代码： 663 科目名称： 数学分析 ★所有答案必须做在答题纸上，做在试题纸上无效！ 共十道题，每题15 分 ⎧ 2 x y ⎪ , x 2 +y 2 ≠0 ( , ) = f (x , y ) 六、设f x y ⎨x 2 +y 2 ，讨论 在原点处的连续性、 ⎪⎩ 0, x 2 +y 2 =0
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