高考数学例谈解题中“主元思想”的应用.docxVIP

与许多的竞技项目不同，高尔夫与其说是一场与别人的对抗，更像是一次自己与自己的较量，它需要足够的耐心和专注，锻炼一个人独立思考的能力，培养一个人积极进取的心态。有人形容高尔夫的18 洞就好像人生，障碍重重，坎坷不断。然而一旦踏上了球场，你就必须集中注意力，独立面对比赛中可能出现的各 种困难，并且承担一切后果。也许，常常还会遇到这样的情况：你刚刚还在为抓到一个小鸟球而欢呼雀跃， 下一刻大风就把小白球吹跑了；或者你才在上一个洞吞了柏忌，下一个洞你就为抓了老鹰而兴奋不已。 例谈解题中“主元思想”的应用 在数学解题中常用到“主元思想”，所谓“主元思想”，即是指在含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中，选择其中一个字母作为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余各字母视作参数或常量，来指导解题的一种思想方法．这一思想方法运用的核心是确定“主元”、选择“主元”，在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”，等价于战斗中选择准了主攻方向． 下面利用两道例题的分析和解题研究来简单介绍一下应该如何运用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”： [例 1]设不等式mx2—2x－m+1﹤0 对满足︱m︱≤2 的一切m 都成立，求x 的取值范围． [分析 1]可以将原不等式化为（x2－1）m﹤2x－1①，采用分离变量法，视x 为主元，通过讨论x2－1 的符号来求解． [解答 1]（1）当 x2－1=O 即x=±1 时，①成立? 2x－1﹥O，∴x=1； （2）当x2－1﹥0 即x﹤－1 或x﹥1 时，由①式得m﹤ 2x ?1 ， ? 2x ? 2x ?1 2x ?1 ?x2 ?1 ? 0 1? 3 3 由题意知  ?﹥2，由此得不等式组? ，解得 1﹤x﹤ ； ? x2 ?1 2 2 ?? x2 ?1 ? 2x ?1（3）当x2—1﹤0 即－1﹤x﹤1 时，由①得m 2x ?1 x2 ?1 这说明，在高尔夫球场上，短暂的领先并不代表最终的胜利；而一时的落后也不意味着全盘失败。 只有凭借毅力，坚持到底，才有可能成为最后的赢家。这些磨练与考验使成长中的青少年受益匪浅。在种种历练之后，他们可以学会如何独立处理问题；如何调节情绪与心境，直面挫折，抵御压力；如何保持积极进取的心态去应对每一次挑战。往往有着超越年龄的成熟与自信，独立性和处理问题的能力都比较强。 与许多的竞技项目不同，高尔夫与其说是一场与别人的对抗，更像是一次自己与自己的较量，它需要足够的耐心和专注，锻炼一个人独立思考的能力，培养一个人积极进取的心态。有人形容高尔夫的18 洞就好像人生，障碍重重，坎坷不断。然而一旦踏上了球场，你就必须集中注意力，独立面对比赛中可能出现的各 种困难，并且承担一切后果。也许，常常还会遇到这样的情况：你刚刚还在为抓到一个小鸟球而欢呼雀跃， 下一刻大风就把小白球吹跑了；或者你才在上一个洞吞了柏忌，下一个洞你就为抓了老鹰而兴奋不已。 由题意知2x ?1 x2 ?1 ?x2 ?1 ? 0 ? 2x ?1 ? 2x ?1 ?? ?2 ? ? x2 ?1  ，解得 ﹤x﹤1； 7 7 ?1 综上可知： ﹤x﹤ 3 ?1 ． 7 ? 7 ?1 [分析 2]视 m 为主元，将原不等式看成关于 m 的不等式，进而将不等式的左边看成关于m 的函数，利用函数的性质解题． 3[解答 2]设f（m）=（x2－1）m+1－2x， 则︱m︱≤2 时，恒有f（m）﹤0， 3 ∴ ?? f (2) ? 2x2 ? 2x ?1 ? 0 ，解得7 ?1 ? x ? ?1 ． ? ?? f (?2) ? ?2x2 ? 2x ? 3 ? 0 2 2 [点评]上述两种解法都运用了“主元思想”，但从解题过程来看，视 m 为主元比视 x 为主元要简便得多．事实告诉我们，若能稍微改变一下思维习惯，在含有多个变量的问题中，合理运用“主元思想”，优先考虑如何选择主元是十分必要的． [例 2]设 a、b、c、d 是实数，且满足（a+b+c）2≥2（a2+b2+c2） +4d，求证：ab+bc+ac≥3d． [分析]原不等式为关于a、b、c 的对称轮换式，若能证明ab≥d， 则同理可证bc≥d，ac≥d，从而命题得证．三个变量在解题中具有等同地位，谁可以作为主元？由于题设中的不等式可变形为 c2－2（a+b） c+a2+b2－2ab+4d≤0，从变形的结构形式看，此时可以视c 为主元， 构造函数 f（x）=x2－2（a+b）x+a2+b2－2ab+4d，进而通过研究该函 这说明，在高尔夫球场上，短暂的领先并不代表最终的胜利；而一时的落后也不意味着全盘失败。 只有凭借毅力，坚持到底，才有可能成为最后的赢家。这些磨练与考验使成长中的青少年受益匪浅。在种种历练之后，他们可以学会如何独立处理问题；如何调节情绪与心