幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应特征向量.docxVIP

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 一.幂法 幂法简介： 当矩阵 A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大) 及其特征向量。矩阵 A 需要满足的条件为： (1) | ? |?| ? 1 2 |? ... ?| ? n |? 0 , ? 为A的特征值 i (2) 存在 n 个线性无关的特征向量，设为 x , x ,..., x 12 n 1 计算过程： 对任意向量x(0)，有x(0) ? ?n i?1  ? u ,? i i i  不全为 0，则有 x(k ?1 ) ? Ax(k) ? ... ? Ak ?1 x( 0 ) ? ?n  Ak ?1α u i i ? ?n  α λk ?1u i i i ?i?1 i?1 ? ? λk ?1 ?? u ? ? ( 2 )k ?1 a u ? ? ? ? ( n )k ?1 a u ? ??1 1 1 ? 2 2 ? ? 1 ? n n 1 ? ?k ?1? u 1 1 1 ? | 2 | 可见，当 ? 1 越小时，收敛越快；且当 k 充分大时，有 ??x(k ?1 ) ? ?k ?1? u x(k ?1 ) ? 1 1 1 ? ? ? ，对应的特征向量即是 x (k ?1 ) 。 ??x(k ) ? ?k? u x(k ) 1 1 1 1 算法实现 (1).输入矩阵A，初始向量x，误差限? , 最大迭代次数N x(k ) (2).k ? 1, ? ? 0; y(k ) ? max(abs(x(k ) ) (3).计算x ? Ay, ? ? max(x); (4).若| ? ? ? |? ?, 输出?, y,否则, 转(5) (5).若 k ? N , 置k ? k ?1, ? ? ?, 转3 ,否则输出失败信息, 停机. matlab 程序代码 1 / 17 function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量 k=1; z=0; % z 相 当 于 ? y=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式 b=max(x); % b 相当于 ? if abs(z-b)eps % 判断第一次迭代后是否满足要求 t=max(x); return; end while abs(z-b)eps kN k=k+1; z=b; y=x./max(abs(x)); x=A*y; b=max(x); end end [m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值 t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。 举例验证 选取一个矩阵 A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证 y 是否是对应的特征向量。结果如下： 2 / 17 t -V - 。7 482 。6497 1111 0000  e i g ( A) an s = - 0. 0166 l. 4801 2. 5365 A* y- t * y an s = 1 . 0e- 004 * - 0. 1603 。- 0. 1684 。 ＿ 结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15 阶 Hilb 矩阵，与 eig(A)的得到结果比较，再计算 A*y-t*y，验证 y 是否是对应的特征向量。设置初始向量为 x0=ones(15,1)，结果显示如下 A=hi l b ( l 5) ; xO=ones ( l 5, 1); e ps = l e - 6 ; N=30; ＿t) [ t, y] = l powre (J\., xO, e ps, ＿ t ＿y ＿ y 3 / 17 可见，结果正确。得到了15阶 Hilb 矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。 二.反幂法 反幂法简介及其理论 在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。其基本理论如下，与幂法基本相同： 由Ax ? ?x ? x ? A?1 (?x)，则A?1 x ? 1 ? x ，可知，A 和 A-1的特征值互为倒数， 求 A 按模最小特征值即求 A-1的按模最大特征值,取倒数即为 A 的按模最小特征值 所 以 算 法 基 本 相 同 ， 区 别 就 是 在 计 算x(k ?1)时，不是令x(k ?1) ? Ay(k ) , 而是x(k ?1) ? A-1 y(k )具体计算时，变换为 Ax(k ?1) ? y(k ) ; 对A做LU分解，来计算x(k ?1) 算法实现 4 / 17 (1).输入矩阵A, 初始向量x,误差限? , 最大迭代次数N ,