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数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量
一.幂法
幂法简介:
当矩阵 A 满足一定条件时,在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大) 及其特征向量。矩阵 A 需要满足的条件为:
(1)
| ? |?| ?
1 2
|? ... ?| ?
n
|? 0 , ? 为A的特征值
i
(2) 存在 n 个线性无关的特征向量,设为 x
, x ,..., x
12 n
1
计算过程:
对任意向量x(0),有x(0) ? ?n
i?1
? u ,?
i i i
不全为 0,则有
x(k ?1 ) ? Ax(k) ? ... ? Ak ?1 x( 0 )
? ?n
Ak ?1α u
i i
? ?n
α λk ?1u
i i i
?i?1 i?1
?
? λk ?1 ?? u
?
? ( 2 )k ?1 a u
? ?
? ? ( n )k ?1 a u ?
??1 1 1 ? 2 2
?
?
1
? n n
1
? ?k ?1? u
1 1 1
?
| 2 |
可见,当 ?
1
越小时,收敛越快;且当 k 充分大时,有
??x(k ?1 ) ? ?k ?1? u
x(k ?1 )
? 1 1
1 ? ? ?
,对应的特征向量即是 x
(k ?1 )
。
??x(k ) ? ?k? u
x(k ) 1
1 1 1
算法实现
(1).输入矩阵A,初始向量x,误差限? , 最大迭代次数N
x(k )
(2).k ? 1, ? ? 0; y(k )
?
max(abs(x(k ) )
(3).计算x ? Ay, ? ? max(x);
(4).若| ? ? ? |? ?, 输出?, y,否则, 转(5)
(5).若 k ? N , 置k ? k ?1, ? ? ?, 转3 ,否则输出失败信息, 停机.
matlab 程序代码
1 / 17
function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值,y是对应特征向量
k=1;
z=0; % z 相 当 于 ? y=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式
b=max(x); % b 相当于 ?
if abs(z-b)eps % 判断第一次迭代后是否满足要求
t=max(x); return;
end
while abs(z-b)eps kN k=k+1;
z=b; y=x./max(abs(x)); x=A*y; b=max(x);
end
end
[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值
t=x(index); % 是原值,而非其绝对值。
举例验证
选取一个矩阵 A,代入程序,得到结果,并与eig(A)的得到结果比较,再计算 A*y-t*y,验证 y 是否是对应的特征向量。结果如下:
2 / 17
t -V -
。7 482
。6497
1111 0000
e i g ( A)
an s =
- 0. 0166
l. 4801
2. 5365
A* y- t * y
an s =
1 . 0e- 004 *
- 0. 1603
。- 0. 1684
。
_
结果正确,表明算法和代码正确,然后利用此程序计算15 阶 Hilb 矩阵,与
eig(A)的得到结果比较,再计算 A*y-t*y,验证 y 是否是对应的特征向量。设置初始向量为 x0=ones(15,1),结果显示如下
A=hi l b ( l 5) ;
xO=ones ( l 5, 1);
e ps = l e - 6 ;
N=30;
_t) [ t, y] = l powre (J\., xO, e ps,
_
t
_y
_
y
3 / 17
可见,结果正确。得到了15阶 Hilb 矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。
二.反幂法
反幂法简介及其理论
在工程计算中,可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。其基本理论如下,与幂法基本相同:
由Ax ? ?x ? x ? A?1 (?x),则A?1 x ?
1
? x ,可知,A 和 A-1的特征值互为倒数,
求 A 按模最小特征值即求 A-1的按模最大特征值,取倒数即为 A 的按模最小特征值 所 以 算 法 基 本 相 同 , 区 别 就 是 在 计 算x(k ?1)时,不是令x(k ?1) ? Ay(k ) , 而是x(k ?1) ? A-1 y(k )具体计算时,变换为
Ax(k ?1) ? y(k ) ; 对A做LU分解,来计算x(k ?1)
算法实现
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(1).输入矩阵A, 初始向量x,误差限? , 最大迭代次数N ,
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