高中数学人教A版2019选择性必修第一册学案1.4空间向量的应用(教师版).docxVIP

1.4 空间向量的应用 【学习目标】 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量． 2.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 3.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系． 4.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导. 5.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想． 6.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 7.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 【知识梳理】 知识点一　空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \o(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq \o(OP,\s\up6(→))称为点P的 ． 【答案】基点 位置向量 知识点二　空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋ta，① 把eq \o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得 eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋teq \o(AB,\s\up6(→))，② ①式和②式都称为 ． 【答案】空间直线的向量表示式 知识点三　空间中平面的向量表示式 1．平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \o(OP,\s\up6(→))＝ .③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 2．平面的法向量 如图，若直线 ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的 ；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·eq \o(AP,\s\up6(→))＝0}． 【答案】eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋xeq \o(AB,\s\up6(→))＋yeq \o(AC,\s\up6(→)) l⊥α 法向量 知识点四　线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得 . 【答案】u1＝λu2 知识点五　线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，则 l∥α?u⊥n? . 【答案】u·n＝0 知识点六　面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得 . 【答案】n1＝λn2 知识点七　线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1⊥l2?u1⊥u2? . 【答案】u1·u2＝0 知识点八　线面垂直的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l?α，则l⊥α?u∥n??λ∈R，使得 . 【答案】u＝λn 知识点九　面面垂直的向量表示 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α⊥β?n1⊥n2? . 【答案】n1·n2＝0 知识点十　点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量eq \o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \o(AQ,\s\up6(→))，设eq \o(AP,\s\up6(→))＝a，则eq \o(AQ,\s\up6(→))=（a·u）u，则点P到直线l的距离为(如图)． 知识点十一　点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)． 【答案】eq \f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|) 知识点十二　两个平面的夹角 平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面α与平面β的 ． 【答案】90° 夹角 知识点十三　 空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝