教师教案：抛物线及其标准方程-(1) (1).docVIP

抛物线及其标准方程 一． 教学目标 1.理解并掌握抛物线定义，和四种标准方程形式及其对应的焦点、准线； 2.掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解用坐标法求曲线方程； 3.通过折纸活动，提高学生动手操作能力，增强数学问题意识； 4.类比对椭圆、双曲线的学习，提高学生观察分析、类比概括的能力。 二． 教学重点、难点 1.重点：抛物线定义及焦点、准线； 抛物线四种标准方程和的几何意义。 2.难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系。 三．教学过程 我们已经学习了椭圆和双曲线,今天我们来研究一类新的曲线——抛物线。 说起抛物线，大家并不陌生，初中学过的二次函数图象，就是抛物线。生活中，属于抛物线的原型也很多，漂亮的彩虹弧线，优美的拱形桥，运动馆外形…… 篮球从出手到进入篮框的运动路线，都呈抛物线； 同学们，是否相信用手中的A4纸就可以折一个抛物线？一起试试看。 活动1：将横放于手中的A4纸连续对折3次，产生9道折痕（包含两边“长”在内），在中间一道折痕上任取一点F，顺次将九道痕迹的左顶点逐一与点F重合，对折产生的新折痕与相应折痕边上会产生交点，用笔标记下来，最后用光滑的曲线将这九个交点连在一起。得到了什么？ 正是本节课的主角——抛物线的一部分。 思考：手折抛物线产生的原理是什么？ 活动2：几何画板动态展示抛物线产生的过程和原理。 引导同学们归纳得出抛物线的定义： 平面内，与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 注意：1.“一动三定”：动点，定点、定直线、定比值1。 2.“定点不在定直线上”：若定点在定直线上，满足距离相等的点将是过定点垂直于直线的一条直线。 类比前面椭圆和双曲线标准方程的建立，如何根据抛物线的定义和结构特征，借助合理的建系，求得抛物线的标准方程。（形式简单、结构美观） （建立曲线方程的步骤：建系→设点→列关系→化简→验证。建系时结合对称性，让轨迹上的点尽量多的落在坐标轴上。） 教师引导：以抛物线顶点为原点，其对称轴为轴如图建系，设焦点F到准线的距离为，则有焦点，准线所在直线方程为。设抛物线上任意一点，由抛物线定义可得： 化简得： ① 抛物线上任意一点坐标都满足方程①， 以方程①的解为坐标的点都在抛物线上。 将叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标为，准线方程为：。 思考：建立椭圆和双曲线的标准方程时，选择不同的建系方式，都得到了不同形式两种标准方程。抛物线的标准方程有没有其他的形式? 活动2：折纸上的抛物线是开口向右的，如果把它翻过来开口向左，或者顺逆旋转，使它开口向上或向下，又如何建系，使推导出来的方程更简洁呢？ 一起完成下表： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 方程特点： 1.抛物线标准方程是关于的二元二次方程，其中一个变量是一次项，另一个变量是二次项。一次项含有，则焦点在轴上：系数为正，焦点在正半轴上，开口向右（上）；系数为负，焦点在负半轴上，开口向左（下）。 2.的几何意义是焦点到准线的距离，所以：； 越大，抛物线的张口越开阔，反之越扁狭。（折纸可以体现。） 焦点与准线在原点两侧，对应值互为相反数，是标准方程中的。 教师引导学生总结： 一次项的变量为抛物线的对称轴，焦点在对称轴上； 一次项的系数的正负决定了抛物线的开口方向。 所以，抛物线的一般方程也即：,或，正负由决定。正了，开口朝右或上，焦点在正半轴上；负了，开口朝左或下，焦点在负半轴上。 思考：以初中最简单的二次函数：为例，能否说出它的焦点和准线方程？ 第一步：先化为抛物线标准方程形式： 第二步：焦点为，准线方程为。 例1 先判断下列抛物线的开口方向,再写出它们的焦点坐标和准线方程。 例2 已知抛物线的焦点是，求它的标准方程。 例3 已知点到点的距离和到直线的距离相等，求点的轨迹方程． 变式1 已知点和直线，则经过点A且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为　　 ． 变式2 若点到点的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程． 小结： 本节课，我们学习了抛物线的定义，并根据定义，结合图形特征，建立了抛物线的四种标准方程。其中渗透了数形结合、分类讨论、类比归纳的数学思想。 以上就是我对“抛物线及其标准方程”这一课的设计说明，不足之处敬请领导老师们批评指正，谢谢大家。