计算下列第一类型曲面积分.doc

计算下列第一类型曲面积分 22.1 1. 计算下列第一类型曲面积分: (x，y，z)dS,,2222x，y，z,a,z,0SS(,),其中是上半球面; 22(x，y)dS,,22x，y,z,1SS(,)，其中为立体的边界曲面; dS，22,,222x，yx，y,Rz,0,z,HSS(,)其中为柱面被平面所截取的部分; xyzdS,,x，y，z,1SS(,)，其中为平面在第一卦限中的部分。 2222xyzaxyz，，,,,,,0,0,0的重心。 2.求均匀曲面 2222xyzaz，，,,(0)3.求密度为的均匀球面对于z轴的转动惯量。 , 2zdS,,SS4. 计算，其中为圆锥表面的一部分: ,,,cossinxr,0,,,ra,,,,:,sinsin;:SyrD,,,,0,,2,,,,coszr,, ,(0,,).,,2这里为常数 22.2 1. 计算下列第二型曲面积分: 22y(x,z)dydz，xdzdx，(y，xz)dxdy,,x,y,z,0,x,y,z,asS(1)，其中为六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向; (x，y)dydz，(y，z)dzdx，(z，x)dxdy,,sS(2)，其中是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向; xydydz，yzdzdx，xzdxdy,,sSxyzxyz,,,，，,01和(3)，其中是由平面所围的四面体表面并取外侧为正向; yzdzdx,,222x，y，z,1sS(4)，其中是球面的上半部分并取外侧为正向; 222xdydz，ydzdx，zdxdy,,2222(x,a)，(y,b)，(z,c),RsS(5)，其中是球面并取外侧为正向。 222x，y，z,4v,(k,y,0)2. 设某流体的流速为，求单位时间内从球面的内部流过球面 的流量. I,f(x)dydz，g(y)dzdx，h(z)dxdy,,,SS3. 计算第二型曲面积分其中是平面六面体 (0,x,a,0,y,b,0,z,c)f(x),g(y),h(z)S的表面并取外侧为正向，为上的连 续函数. 2222x，y，z,a,z,0E(x,y,z)4. 设磁场强度为，求从球内出发通过上半球面的磁通 量。 22.3 1. 应用高斯公式计算下列曲面积分: yzdydz，zxdzdx，xydxdy,,222x，y，z,1SS(1)，其中是单位球面的外侧; 222xdydz，ydzdx，zdxdy,,0,x,y,z,aSS(2)，其中是立方体表面的外侧; 222xdydz，ydzdx，zdxdy,,222x，y,zSSz,h(3)，其中是锥面与平面所围的空间 (0,z,h)区域的表面，方向取外侧; 333xdydz，ydzdx，zdxdy,,222x，y，z,1SS(4)，其中是单位球面的外侧; xdydz，ydzdx，zdxdy,,222z,a,x,ySS(5)，其中是上半球面的外侧。 (xy，yz，zx)dxdydz,,,x,0,y,0,VV2. 应用高斯公式计算三重积分，其中是由 22x，y,10,z,1与所确定的空间区域. 3. 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分: 222222(y，z)dx，(x，z)dy，(x，y)dzx，y，z,1,LL(1)，其中为与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧; 2322xydx，dy，zdzy，z,1,x,y,LL(2)其中为所交的椭圆的正向; (z,y)dx，(x,z)dy，(y,x)dzA(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),LL(3)，其中为以为顶 ABCA的方向。 点的三角形沿 4. 求下列全微分的原函数: yzdx，xzdy，xydz;(1) 222(x,2yz)dx，(y,2xz)dy，(z,2yx)dz(2) 5. 验证下列线积分与路线无关，并计算其值: (2,3,4),23(1) xdxydyzdz，，;,(1,1,1) (x,y,z)xdx，ydy，zdz222 ,(x,y,z)2222222111x，y，z(x,y,z),(x,y,z)x，y，z,a111222(2),其中在球面上. 1SV,,,，，为,,,VVxyzdS(coscoscos),6. 证明: 由曲面包围的立体的体积,,,3S cos,,cos,,cos,S其中 为曲面的外法线方向余弦. cos(n,l)dS,0,,nSlSS7. 证明: 若为封闭曲面,为任何固定方向,则,其中为曲面的外法线方向. dxdydz1,cos(r,n)dS,,,,,r2VSnSVS8. 证明:公式其中是包围的曲面,为的外法线方向, 222r,x，y，z,r,(x,y,z). xcos,，ycos,，zcos,,