求数列前N项和的七种方法.docxVIP

. . Word Word 资料 求数列前N 项和的七种方法 点拨: 核心提示：求数列的前 核心提示：求数列的前 n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 公式法 等差数列前n 项和： S ? n(a1 ? an ) n 2 ? na1 ? n(n ?1) d 2 特别的，当前 n 项的个数为奇数时，S2k ?1 ? (2k ?1)gak ?1 ，即前 n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 ? ?等比数列前n 项和： q=1 时 ， Sn ? ? ? a1 1? qn q ? 1，S n ? 1? q ，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、 S n ? ?n k ? 2n(n ?1) 2、 Sn ? ?n k 2 ? n(n ?1)(2n ?1) 16 1 1k ?1 k ?1 1 3、 S n ? ?n k 3 k ?1 ? [ n(n ?1)]2 12 1 ?1 [例 1] 已知log x ? 3 log 2 ，求 x ? x2 ? x3 ? ??? ? xn 3 ???的前 n 项和. 解：由log x ? 3 ? 1 log 3 2 ? log 3 x ? ? log 3 2 ? x ? 1 2 由等比数列求和公式得 S ? x ? x 2 n 用常用公式） x 3 ? ? ? ? ? xn （利 1 (1 ? 1 ) x(1? xn ) 2 2n 1 ＝ 1? x ＝ ＝1－ 11 ? 2n 1 [ 例 2] 设 S ＝1+2+3+…+n，n∈N*, 求 f (n) ? 2 S n 的最大值. n (n ? 32)S  n?1 1 1 解：由等差数列求和公式得 S n 用常用公式） ? n(n ? 1) ， S 2  n?1 ? (n ? 1)(n ? 2) （利 2 ∴ f (n) ? Sn ＝ n (n ? 32)S  n?1 n2 ? 34n ? 64 1 n＝ 64 ＝ n n ? 34 ? ( ? n ? 1 18n)2 ? 50 1 8 n n∴ 当 ? n 8 1 n?，即 n＝8 时， f (n) n ? max 50 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 {a · b }的前n 项和，其中{ a }、{ b }分别是等差数列和等比数列. n n n n [例 3] 求和： S ? 1 ? 3x ? 5x 2 n ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1)x n?1 ① 解：由题可知，{ (2n ? 1)x n?1 }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ x n?1 }的通 项之积 设 xS ? 1x ? 3x 2 n  ? 5x 3  ? 7 x 4  ? ? ? ? ? (2n ? 1)x n ② ① － ② 得 (1 ? x)S ? 1 ? 2x ? 2x 2 n （错位相减） ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2xn?1 ? (2n ? 1)x n 再利用等比数列的求和公式得：(1 ? x)S n  ? 1 ? 2x ? 1 ? xn?1 1 ? x  ? (2n ? 1)x n ∴ S ? n (2n ?1)xn?1 ? (2n ?1)xn ? (1? x) (1? x)2 [ 例 4] 求 数 列 2 , 4 , 6 ,? ? ?, 2n ,? ? ?前 n 项的和. 2 22 23 2n 解：由题可知，{ 2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积 2n 2n S ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n …………………………………① 设 n 2 22 23 2n S ? n 2 ? 4 ? 22 23 6 ? ? ? ? ? 24 2n ……………………………… ② 2n?1 （设制错位） ① － ② 得 (1 ? 1 )S ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2n （错位相减）  ? 2 ? 1 2 n 2n 2 22 23 24 2n 2n?1 S∴? 4 ? S ∴ n 2n?1 n ? 2 2n?1 2n?1 练习： 求：S =1+5x+9x2+·+(4n-3)xn-1 n 解：S =1+5x+9x2+·+(4n-3)xn-1 ① n ①两边同乘以x，得 x S =x+5 x2+9x3+·+(4n-3)xn ② n ①-②得