全国初中数学竞赛竞赛试题以及参考答案 .docxVIP

PAGE PAGE 1 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分） 1．若 a ? 20， b ? 10 ，则 a ? b 的值为（ ）． b c b ? c 11 21 （C） 110 （D） 210 21 11 21 11 a ?1 解： D 由题设得 a ? b ? b ? 20 ?1 ? 210 ． b ? c 1? c 1? 1 11 b 10 2．若实数 a，b 满足 1 a ? ab ? b2 ? 2 ? 0 ，则 a 的取值范围是 （ ）． 2 （A）a ? ?2 （B）a ? 4 （C）a≤ ?2 或 a≥4 （D） ?2 ≤a≤4 解．C 1因为 b 是实数，所以关于 b 的一元二次方程b2 ? ab ? a ? 2 ? 0 1 2 1的判别式 ?＝(?a)2 ? 4 ?1? ( a ? 2) ≥0,解得 a≤ ?2 或 a≥4． 1 2 33．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB= 2 3  ，BC= 4 ? 2 ， 22CD＝ 4 2 2 ，则 AD 边的长为（ ）． 66（A） 2 （B） 4 6 6 66（C） 4 ? （D） 2 ? 2 6 6 （第 3 题） （第 3 题） 如图，过点A，D 分别作 AE，DF 垂直于直线 BC， 垂足分别为 E，F． 由已知可得 6BE=AE= 6 于是 EF＝4＋ ，CF＝ 2 26． 2 6 ，DF＝2 ，  6（第 3 题） 6 过点 A 作 AG⊥DF，垂足为 G．在 Rt△ADG 中，根据勾股定理得 (4 ? 6) 2 ? ( 6) 2(2 ? 24) (4 ? 6) 2 ? ( 6) 2 (2 ? 24) 2 6 在一列数 x ，x ，x ，……中，已知 x ? 1，且当 k≥2 时，x ? x ?1? 4 ? ? k ?1? ? ? k ? 2 ? ? ??1 2 3 1 ? ? k k ?1 ? ?? 4 ?? ?? 4 ?? ? （取整符号 ?a?表示不超过实数 a 的最大整数，例如 ?2.6?? 2 ， ?0.2?? 0 ），则 x 等于 2010 （ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B 由 x ? 1和 x ? x ?1? 4 ? ? k ?1? ? ? k ? 2 ? ? 可得 ??1 k k ?1 ? ? ? ?? 4 ?? ?? 4 ?? ? x ? 1， x 1 2 x ? 1 ， x 5 6 ? 2 ， x 3 ? 2 ， x 7 ? 3 ， x 4 ? 3 ， x 8 ? 4 ， ? 4 ， …… 因为 2010=4×502+2，所以 x 2010  =2． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，1），B（2， 1 12 2 3 3－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y 轴上一点 P（0，2）绕点 A 旋转 180°得点 P ，点 P绕点 B 旋转 180°得点 P ，点 P 绕点 C 旋转 180°得点 P ，点 1 1 2 2 3 3 4 1 2绕点 D 旋转 180°得点 P ，……，重复操作依次得到点 P ，P 4 1 2 则点 P2010 的坐标是（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010， ?2 ） （C）（2012， ?2 ） （D）（0，2） （第 5 题） 解：B 由已知可以得到，点 P ， P 的坐标分别为（2，0），（2， ?2 ）． 1 2 记 P（a ，b ) ，其中a ? 2, b ? ?2 ． 2 2 2 2 2 根据对称关系，依次可以求得： P (?4 ? a ，－2－b ) ， P (2 ? a ，4 ? b ) ， P (?a ，? 2 ? b ) ， P (4 ? a ，b ) ． 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2 令 P (a , b ) ，同样可以求得，点 P 的坐标为（ 4 ? a , b ），即 P（ 4 ? 2 ? a , b ）， 6 6 2 10 6 2 10 2 2 由于 2010=4? 502+2，所以点 P 2010 的坐标为（2010， ?2 ）． 二、填空题 56．已知 a＝ －1，则 2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 5