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5.主应力与主平面 2）主平面、应力主方向与主应力 px = pnl,? py = pnm,?pz = pnn 方程组有 非零解的条件 求解主应力 * 第二十九页，共七十一页，2022年，8月28日 5.主应力与主平面 2）主平面、应力主方向与主应力 特征方程 应力张量元素构成的行列式 主对角线元素之和 应力张量第一不变量 行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和 应力张量第二不变量 应力张量第三不变量 * 第三十页，共七十一页，2022年，8月28日 5.主应力与主平面 2）主平面、应力主方向与主应力 求解主应力 说明： 1、受外力处于平衡的结构内，任意点有三个主应力，且主平面相互垂直。 ２、主应力值和方向只取决于受力状态，与选取的坐标系无关。 ３、所有截面中， 解得的三个实数根即为三个主应力，将主应力代入方程组，可得三个主方向。 * 第三十一页，共七十一页，2022年，8月28日 1.3 弹性力学基本方程 平衡微分方程 几何方程 变形协调方程 物理方程 * 第三十二页，共七十一页，2022年，8月28日 1.平衡微分方程 外力和应力关系 平衡 物体整体平衡，内部任意部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论一点的平衡。 微分平行六面体单元 * 第三十三页，共七十一页，2022年，8月28日 平衡微分方程解释 微小六面体边长 dx, dy, dz 单元体的体力 X, Y, Z 应力是位置坐标的函数，所以 * 第三十四页，共七十一页，2022年，8月28日 平衡微分方程示意图 * 第三十五页，共七十一页，2022年，8月28日 平衡微分方程 　静力平衡条件 平衡微分方程 Navier方程 * 第三十六页，共七十一页，2022年，8月28日 2、几何方程 应变和位移关系 微六面体：MA=dx MB=dy MC=dz * 第三十七页，共七十一页，2022年，8月28日 2、几何方程 应变和位移关系 因此 * 第三十八页，共七十一页，2022年，8月28日 2、几何方程 应变和位移关系 切应变与位移： 因此 * 第三十九页，共七十一页，2022年，8月28日 2、几何方程 应变和位移关系 空间几何方程： 由几何方程可知，已知位移函数u,v,w，则该点应变分量确定。 但是，应变分量确定，无法求出位移分量。 * 第四十页，共七十一页，2022年，8月28日 3、变形协调方程 设 ex =3x,ey =2y,gxy =xy,ez =gxz =gyz =0,求其位移。 显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。 解： * 第四十一页，共七十一页，2022年，8月28日 3、变形协调方程 * 第四十二页，共七十一页，2022年，8月28日 变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。描述六个应变分量之间所存在的关系式。 同一平面内的正应变与剪应变之间的关系（3个）： 从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得 3、变形协调方程 * 第四十三页，共七十一页，2022年，8月28日 不同平面内的正应变与剪应变之间的关系(3个）： 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则 3、变形协调方程 对x求一阶偏导数，则 * 第四十四页，共七十一页，2022年，8月28日 3、变形协调方程 变形协调方程的数学意义 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足的关系。 * 第四十五页，共七十一页，2022年，8月28日 4、物理方程 应变和应力关系 应力应变关系属于材料性能 称为物理方程或者本构方程 单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定 单向拉伸实验可以测出弹性模量E 薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G 复杂应力状态难以直接通过实验确定 * 第四十六页，共七十一页，2022年，8月28日 4、物理方程 杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，实验证明，在弹性范围内有 泊松比，也称横向变形系数。 应变和应力关系 取一个单元体，在各正应力作用下，沿Ｘ